Questão 3 (
pontos) Quando a temperatura do ar é
, a água da superfície de um lago congela e forma uma camada de gelo, mas a água sob o gelo permanece a
.
a) Mostre que a espessura da camada de gelo da superfície do lago é proporcional a raiz quadrada do tempo, se o calor de fusão da água que congela abaixo da camada de gelo sofrer condução através dessa camada.
b) Sabendo que a condutividade térmica e a densidade do gelo são, respectivamente,
e
, calcule a espessura da camada de gelo 30 dias após iniciar-se o congelamento.
a) Mostre que a espessura da camada de gelo da superfície do lago é proporcional a raiz quadrada do tempo, se o calor de fusão da água que congela abaixo da camada de gelo sofrer condução através dessa camada.
b) Sabendo que a condutividade térmica e a densidade do gelo são, respectivamente,
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Temperatura do ar (superfície externa):
. - Temperatura na interface gelo‑água (embaixo do gelo):
. - Condutividade térmica do gelo:
. - Densidade do gelo:
. - Tempo pedido na parte (b):
dias.
- Temperatura do ar (superfície externa):
-
O enunciado pede:
(a) Mostrar que a espessura da camada de geloé proporcional à raiz quadrada do tempo quando o calor liberado na solidificação é conduzido através da camada de gelo.
(b) Calcular numericamente a espessura apósdias, usando os dados acima. -
Informação física necessária (não dada no enunciado, mas padrão para água): calor latente de fusão da água
. Vou usar esse valor para calcular a espessura; se a prova der outro valor, substituir direto na fórmula.
Passo 2
Modelo físico e equação de conservação de energia — explicação didática.
Quando a água congela sob a camada de gelo, cada incremento de espessura
(por unidade de área) libera energia (calor) devido à solidificação. Essa energia precisa ser conduzida através do gelo até a superfície e então perdida para o ar. Em regime quasiestacionário (temperaturas constantes
na interface e
na superfície), a distribuição de temperatura no gelo é aproximadamente linear, então a taxa de remoção de calor por condução é dada pela lei de Fourier (versão 1D e linearizada):
- Fluxo de calor por unidade de área (energia por área por tempo) conduzido através do gelo:
onde
-
é a condutividade térmica (unidades: ), -
é a diferença de temperatura entre superfície e interface (aqui ), -
é a espessura atual do gelo (em ).
Explicação: com temperatura externa fixa e interface em, a inclinação de temperatura é ; multiplicando por obtém-se o fluxo. -
Energia necessária para congelar uma camada de gelo de espessura
por unidade de área é (unidades: ). Assim, a potência necessária para aumentar a espessura a uma taxa é
Equilíbrio de energia (toda a potência conduzida é usada para solidificar mais gelo):
Passo 3
Transformando a equação em uma ODE e integrando — passo a passo da matemática.
Partimos de
Isolando a derivada:
Multiplicando ambos os lados por
:
Integramos dos instantes iniciais até
e da espessura inicial
até
:
A integral do lado esquerdo é
, logo
Isolando
:
Interpretação imediata:
é proporcional a
. Isso responde (a): a dependência é do tipo raiz quadrada do tempo.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula e calcular numericamente para
dias. Primeiro organizar os dados e unidades (tudo em sistema consistente com as unidades de
e
dadas: cm, s, cal).
-
. -
. -
. -
. -
.
Substituindo na fórmula em bloco e calculando passo a passo:
Calcular o numerador:
Fazendo as contas:
Então o numerador é
(unidades
combinadas de forma consistente).
Calcular o denominador:
Agora
Portanto
Em metros isso é aproximadamente
.
Passo 5
Comentários finais e checagem de hipóteses (rápido e amigo):
- A aproximação foi que o perfil de temperatura no gelo é linear (válida se o tempo é suficientemente longo para que o perfil estacionário se estabeleça localmente) e que a capacidade térmica do gelo é desprezível comparada ao calor latente durante o crescimento da camada. Essas são hipóteses padrão na solução clássica do problema de Stefan e justificam o resultado
. - Resultado numérico: cerca de
de gelo após dias às condições dadas (usar outro valor de ou mudará o número).
Resposta
(a)
, logo
.\n
(b) (≈
).
(b)