Questão 3 ( \mathbf{2 , 0} pontos) Quando a temperatura do ar é -15^{\circ} \mathrm{C}, a água da superfície de um lago congela e forma uma camada de gelo, mas a água sob o gelo permanece a 0{ }^{\circ} \mathrm{C}.
a) Mostre que a espessura da camada de gelo da superfície do lago é proporcional a raiz quadrada do tempo, se o calor de fusão da água que congela abaixo da camada de gelo sofrer condução através dessa camada. (1,0)
b) Sabendo que a condutividade térmica e a densidade do gelo são, respectivamente, 4 \times 10^{-3} \mathrm{cal} / \mathrm{s} . \mathrm{cm} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e 0,92 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, calcule a espessura da camada de gelo 30 dias após iniciar-se o congelamento. (1,0)

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do ar (superfície externa): -15^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura na interface gelo‑água (embaixo do gelo): 0^\circ\mathrm{C}.
    • Condutividade térmica do gelo: k = 4\times10^{-3}\\ \mathrm{cal}\,/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}\cdot{ }^\circ\mathrm{C}).
    • Densidade do gelo: \rho = 0,92\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
    • Tempo pedido na parte (b): 30 dias.
  • O enunciado pede:
    (a) Mostrar que a espessura da camada de gelo x(t) é proporcional à raiz quadrada do tempo t quando o calor liberado na solidificação é conduzido através da camada de gelo.
    (b) Calcular numericamente a espessura após 30 dias, usando os dados acima.
  • Informação física necessária (não dada no enunciado, mas padrão para água): calor latente de fusão da água \,L_f = 80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}. Vou usar esse valor para calcular a espessura; se a prova der outro valor, substituir direto na fórmula.

Passo 2

Modelo físico e equação de conservação de energia — explicação didática.
Quando a água congela sob a camada de gelo, cada incremento de espessura dx (por unidade de área) libera energia (calor) devido à solidificação. Essa energia precisa ser conduzida através do gelo até a superfície e então perdida para o ar. Em regime quasiestacionário (temperaturas constantes 0^\circ\mathrm{C} na interface e -15^\circ\mathrm{C} na superfície), a distribuição de temperatura no gelo é aproximadamente linear, então a taxa de remoção de calor por condução é dada pela lei de Fourier (versão 1D e linearizada):
  • Fluxo de calor por unidade de área (energia por área por tempo) conduzido através do gelo:
\dot{q} = \frac{k\,\Delta T}{x},
onde
  • k é a condutividade térmica (unidades: \mathrm{cal}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}\cdot{ }^\circ\mathrm{C})),
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre superfície e interface (aqui \Delta T = 0 - (-15) = 15^\circ\mathrm{C}),
  • x é a espessura atual do gelo (em \mathrm{cm}).
    Explicação: com temperatura externa fixa e interface em 0^\circ\mathrm{C}, a inclinação de temperatura é \Delta T/x; multiplicando por k obtém-se o fluxo.
  • Energia necessária para congelar uma camada de gelo de espessura dx por unidade de área é \rho\,L_f\,dx (unidades: \mathrm{cal}/\mathrm{cm}^2). Assim, a potência necessária para aumentar a espessura a uma taxa dx/dt é
\text{potência usada na solidificação} = \rho\,L_f\,\frac{dx}{dt}.êçã
Equilíbrio de energia (toda a potência conduzida é usada para solidificar mais gelo):
\frac{k\,\Delta T}{x} = \rho\,L_f\,\frac{dx}{dt}.

Passo 3

Transformando a equação em uma ODE e integrando — passo a passo da matemática.
Partimos de
\frac{k\,\Delta T}{x} = \rho\,L_f\,\frac{dx}{dt}.
Isolando a derivada:
\frac{dx}{dt} = \frac{k\,\Delta T}{\rho\,L_f}\cdot\frac{1}{x}.
Multiplicando ambos os lados por x\,dt:
x\,dx = \frac{k\,\Delta T}{\rho\,L_f}\,dt.
Integramos dos instantes iniciais até t e da espessura inicial x(0)=0 até x(t):
\int_{0}^{x(t)} x\,dx = \frac{k\,\Delta T}{\rho\,L_f}\int_{0}^{t} dt.
A integral do lado esquerdo é \tfrac{1}{2}x^2, logo
\frac{1}{2}x(t)^2 = \frac{k\,\Delta T}{\rho\,L_f}\,t.
Isolando x(t):
x(t) = \sqrt{\frac{2k\,\Delta T}{\rho\,L_f}\;t }.
Interpretação imediata: x(t) é proporcional a \sqrt{t}. Isso responde (a): a dependência é do tipo raiz quadrada do tempo.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula e calcular numericamente para t=30 dias. Primeiro organizar os dados e unidades (tudo em sistema consistente com as unidades de k e \rho dadas: cm, s, cal).
  • k = 4\times10^{-3}\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm}\cdot{ }^\circ\mathrm{C}).
  • \Delta T = 15^\circ\mathrm{C}.
  • \rho = 0,92\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
  • L_f = 80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
  • t = 30\\ \text{dias} = 30\cdot24\cdot3600\\ \mathrm{s} = 2\,592\,000\\ \mathrm{s}.
Substituindo na fórmula em bloco e calculando passo a passo:
x^2 = \frac{2k\,\Delta T}{\rho\,L_f}\;t.
Calcular o numerador:
2k\,\Delta T\,t = 2\cdot(4\times10^{-3})\cdot 15 \cdot 2\,592\,000.
Fazendo as contas:
(4\times10^{-3})\cdot 15 = 0,06,
0,06\cdot 2\,592\,000 = 155\,520,
2\cdot 155\,520 = 311\,040.
Então o numerador é 311\,040 (unidades \mathrm{cal}/\mathrm{cm} combinadas de forma consistente).
Calcular o denominador:
\rho\,L_f = 0,92\cdot 80 = 73,6\quad(\mathrm{cal}/\mathrm{cm}^3).
Agora
x^2 = \frac{311\,040}{73,6}\approx 4\,226{,}1\\ \mathrm{cm}^2.
Portanto
x = \sqrt{4\,226{,}1}\approx 65{,}0\\ \mathrm{cm}.
Em metros isso é aproximadamente 0,65\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Comentários finais e checagem de hipóteses (rápido e amigo):
  • A aproximação foi que o perfil de temperatura no gelo é linear (válida se o tempo é suficientemente longo para que o perfil estacionário se estabeleça localmente) e que a capacidade térmica do gelo é desprezível comparada ao calor latente durante o crescimento da camada. Essas são hipóteses padrão na solução clássica do problema de Stefan e justificam o resultado x\propto\sqrt{t}.
  • Resultado numérico: cerca de 65\\ \mathrm{cm} de gelo após 30 dias às condições dadas (usar outro valor de L_f ou k mudará o número).

Resposta

(a) \displaystyle x(t)=\sqrt{\frac{2k\,\Delta T}{\rho\,L_f}\;t}, logo x\propto\sqrt{t}.\n
(b) x(30\\ \text{dias})\approx 65{,}0\\ \mathrm{cm} (≈ 0,65\\ \mathrm{m}).

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