Uma solução foi preparada misturando-se 3 mols de tolueno e 2 mols de benzeno a 300 K , sob pressão tal que se estabelece equilíbrio líquido-vapor. No equilíbrio, verificou-se que 1 mol da mistura foi vaporizado. Calcule a composição do vapor, a composição do líquido, e a pressão total do vapor saturado. As pressões de vapor a 300 K do benzeno e do tolueno são 103,01 Torr e 32,06 Torr, respectivamente. (2,0)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Moles iniciais de tolueno: n_{\text{Tol,tot}}=3.
    • Moles iniciais de benzeno: n_{\text{Ben,tot}}=2.
    • Temperatura: 300\\ \text{K}.
    • No equilíbrio, moles vaporizados no total: n_{\text{vap}}=1.
    • Pressões de vapor (a 300\\ \text{K}):
      • benzeno: P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}=103{,}01\\ \text{Torr}.
      • tolueno: P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}=32{,}06\\ \text{Torr}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Composição do vapor no equilíbrio (frações molares do vapor y_i).
    2. Composição do líquido no equilíbrio (frações molares do líquido x_i).
    3. Pressão total do vapor saturado P.

Passo 2

Definições, hipóteses e variáveis que vamos usar (muito importante entender cada símbolo):
  • Vamos chamar:
    • x_{\text{Ben}} = fração molar do benzeno na fase líquida (isto é, x_{\text{Ben}}=\dfrac{n_{\text{Ben}}^{\ell}}{n^{\ell}}).
    • x_{\text{Tol}}=1-x_{\text{Ben}} = fração molar do tolueno na fase líquida.
    • y_{\text{Ben}} = fração molar do benzeno na fase vapor (isto é, y_{\text{Ben}}=\dfrac{n_{\text{Ben}}^{v}}{n^{v}}).
    • y_{\text{Tol}}=1-y_{\text{Ben}} = fração molar do tolueno na fase vapor.
    • n^{\ell} = moles totais no líquido no equilíbrio.
    • n^{v} = moles totais no vapor no equilíbrio.
    • n_{i}^{\ell} e n_{i}^{v} são as moles do componente i (Ben ou Tol) nas fases líquida e vapor.
  • Hipótese física: solução ideal e vapor ideal -> aplicamos a Lei de Raoult para cada componente:
    P_i = x_i\,P_i^{\text{sat}}
    onde P_i é a pressão parcial do componente i, x_i é a fração molar líquida, e P_i^{\text{sat}} é a pressão de vapor pura do componente i (dados).
  • Pressão total:
    P = P_{\text{Ben}} + P_{\text{Tol}} = x_{\text{Ben}}P_{\text{Ben}}^{\text{sat}} + x_{\text{Tol}}P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}.

Passo 3

Balance de massa (contagem de moles) — relacionar frações com moles:
  • Moles totais iniciais: n_{\text{tot}} = 3 + 2 = 5.
  • Como n^{v}=1 (foi vaporizado 1 mol), o líquido tem
    n^{\ell}=n_{\text{tot}}-n^{v}=5-1=4.
  • Moles de benzeno e tolueno nas fases no equilíbrio satisfazem:
    n_{\text{Ben}}^{\ell}+n_{\text{Ben}}^{v}=n_{\text{Ben,tot}}=2,
n_{\text{Tol}}^{\ell}+n_{\text{Tol}}^{v}=n_{\text{Tol,tot}}=3.
  • Em termos das frações molares líquidas x_i e das quantidades n^{\ell} e n^{v}: n_{\text{Ben}}^{\ell}=x_{\text{Ben}}\,n^{\ell}=4x_{\text{Ben}}, \qquad n_{\text{Ben}}^{v}=n_{\text{Ben,tot}}-n_{\text{Ben}}^{\ell}=2-4x_{\text{Ben}}.
n_{\text{Tol}}^{\ell}=x_{\text{Tol}}\,n^{\ell}=4(1-x_{\text{Ben}}), \qquad n_{\text{Tol}}^{v}=3-4(1-x_{\text{Ben}})=-1+4x_{\text{Ben}}.
  • Como n^{v}=1, as frações molares do vapor são simplesmente: y_{\text{Ben}}=n_{\text{Ben}}^{v}=2-4x_{\text{Ben}}, \qquad y_{\text{Tol}}=n_{\text{Tol}}^{v}= -1+4x_{\text{Ben}}.(estas duas somam 1 — conferência rápida.)

Passo 4

Relacionar as expressões de y_i (obtidas pelo balanço de massa) com Raoult (via pressões parciais):
  • Pela definição de fração molar do vapor em termos das pressões parciais (Lei de Dalton + Raoult):
    y_{\text{Ben}}=\frac{P_{\text{Ben}}}{P}=\frac{x_{\text{Ben}}P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}}{x_{\text{Ben}}P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}+(1-x_{\text{Ben}})P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}}.
  • Mas também do balanço de massa temos y_{\text{Ben}}=2-4x_{\text{Ben}}. Igualando:
    \frac{x_{\text{Ben}}P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}}{x_{\text{Ben}}(P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}-P_{\text{Tol}}^{\text{sat}})+P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}}=2-4x_{\text{Ben}}.
  • Vamos manipular essa equação para obter uma equação em x_{\text{Ben}} (é uma quadrática). Multiplicando cruzado:
    x_{\text{Ben}}P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}=(2-4x_{\text{Ben}})\big(x_{\text{Ben}}(P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}-P_{\text{Tol}}^{\text{sat}})+P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}\big).

Passo 5

Desenvolver a equação quadrática (faça passo a passo para não se perder):
  • Expandindo o lado direito:
    x_{\text{Ben}}P_{\text{Ben}}^{\text{sat}} = 2x_{\text{Ben}}(P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}-P_{\text{Tol}}^{\text{sat}})-4x_{\text{Ben}}^{2}(P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}-P_{\text{Tol}}^{\text{sat}})+2P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}-4x_{\text{Ben}}P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}.
  • Reunindo todos os termos de um lado (colocando em formato padrão Ax^2+Bx+C=0) obtemos, após simplificação,
    4\big(P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}-P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}\big)x_{\text{Ben}}^{2}-\big(P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}-6P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}\big)x_{\text{Ben}}-2P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}=0.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e resolver a quadrática:
  • Substituindo P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}=103{,}01\\ \text{Torr} e P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}=32{,}06\\ \text{Torr}: P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}-P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}=103{,}01-32{,}06=70{,}95.Então os coeficientes são: A=4\cdot70{,}95=283{,}8,
B=-(103{,}01-6\cdot32{,}06)= - (103{,}01-192{,}36)= -(-89{,}35)=89{,}35,
C=-2\cdot32{,}06=-64{,}12.
  • Equação numérica:
    283{,}8\,x_{\text{Ben}}^{2}+89{,}35\,x_{\text{Ben}}-64{,}12=0.
  • Resolver pela fórmula quadrática:
    x_{\text{Ben}}=\frac{-89{,}35\pm\sqrt{89{,}35^{2}-4\cdot283{,}8\cdot(-64{,}12)}}{2\cdot283{,}8}.
  • Cálculo do discriminante e raízes (apenas a raiz positiva faz sentido fisicamente):
    \Delta\approx80772{,}95,\qquad \sqrt{\Delta}\approx284{,}256.
x_{\text{Ben}}=\frac{-89{,}35+284{,}256}{567{,}6}\approx0{,}3436.
  • A outra raiz é negativa (descartada). Portanto: x_{\text{Ben}}\approx0{,}3436,\qquad x_{\text{Tol}}=1-x_{\text{Ben}}\approx0{,}6564.

Passo 7

Calcular as composições do vapor a partir do balanço (e conferir com Raoult):
  • Moles de benzeno no vapor:
    n_{\text{Ben}}^{v}=2-4x_{\text{Ben}}=2-4(0{,}3436)\approx0{,}6256.
    Como n^{v}=1, a fração molar do vapor é
    y_{\text{Ben}}=n_{\text{Ben}}^{v}\approx0{,}6256.
  • Para o tolueno:
    y_{\text{Tol}}=1-y_{\text{Ben}}\approx0{,}3744.
  • Checagem rápida via Raoult:
    P=x_{\text{Ben}}P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}+x_{\text{Tol}}P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}
    que vamos calcular no próximo passo; então y_{\text{Ben}}=\dfrac{x_{\text{Ben}}P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}}{P} deve coincidir (dá um valor muito próximo, pequenas diferenças numéricas por arredondamento).

Passo 8

Calcular a pressão total P:
  • Usando Raoult:
    P=x_{\text{Ben}}P_{\text{Ben}}^{\text{sat}}+x_{\text{Tol}}P_{\text{Tol}}^{\text{sat}}.
    Substituindo valores:
    P\approx0{,}3436\cdot103{,}01+0{,}6564\cdot32{,}06\approx35{,}394+21{,}044\approx56{,}438\\ \text{Torr}.
  • Arredondando de forma razoável (3 algarismos significativos):
    P\approx56{,}44\\ \text{Torr}.

Passo 9

Resumo numérico final (para ficar bem claro):
  • Frações molares no líquido: x_{\text{Ben}}\approx0{,}3436,\qquad x_{\text{Tol}}\approx0{,}6564.
  • Frações molares no vapor: y_{\text{Ben}}\approx0{,}6256,\qquad y_{\text{Tol}}\approx0{,}3744.
  • Pressão total do vapor saturado: P\approx56{,}44\\ \text{Torr}.

Resposta

Composição do vapor: y_{\text{Ben}}\approx0{,}6256,\;y_{\text{Tol}}\approx0{,}3744
Composição do líquido: x_{\text{Ben}}\approx0{,}3436,\;x_{\text{Tol}}\approx0{,}6564
Pressão total: P\approx56{,}44\\ \text{Torr}

Exercícios relacionados