Questão 2 ( \mathbf{2 , 0} pontos) Um gás ideal com \boldsymbol{\gamma}=1,67 sofre uma expansão isotérmica em que seu volume dobra, seguida de uma contração isobárica até o volume inicial, e de aquecimento, a volume constante, até a temperatura inicial.
Calcule o rendimento desse ciclo.

Passo 1

Vou primeiro listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Constante adiabática do gás: \gamma=1,67.
    • Ciclo composto por três processos, partindo do estado 1:
      1. Expansão isotérmica de 1 para 2: o volume dobra, isto é, V_2=2V_1, e a temperatura permanece T_2=T_1.
      2. Contração isobárica de 2 para 3: pressão constante (igual à pressão em 2) e o volume volta ao valor inicial, isto é, V_3=V_1.
      3. Aquecimento a volume constante de 3 para 1: V constante e a temperatura volta para T_1.
    • Não são fornecidos valores numéricos para P_1, V_1, T_1 nem para o número de mols n; portanto faremos a resolução em termos de n,R,T_1 e a resposta ficará independente desses parâmetros (ou seja, o rendimento será uma função de \gamma somente).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o rendimento (eficiência) do ciclo termodinâmico, definido por \eta=\frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{in}}},íonde W_{\text{líquido}}í é o trabalho total realizado pelo gás no ciclo e Q_{\text{in}} é a soma dos calores recebidos (apenas as entradas de calor, não as saídas).

Passo 2

Analisando o processo 1 \,1\to2😃 expansão isotérmica a T_1.
  • Conceito rápido: para um gás ideal em processo isotérmico a temperatura T é constante, logo a variação da energia interna é zero: \Delta U=0. Pela primeira lei da termodinâmica \,Q=W+\Delta U\Rightarrow Q=W (toda o calor recebido é convertido em trabalho realizado pelo gás).
  • Trabalho realizado num processo isotérmico ideal (por n mols): W_{12}=nRT_1\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).Substituindo V_2=2V_1, W_{12}=nRT_1\ln 2.
  • Portanto o calor trocado nesse processo é Q_{12}=W_{12}=nRT_1\ln 2.

Passo 3

Determinar as condições no estado 2 e no estado 3 (usar a equação de estado do gás ideal \,PV=nRT).
  • Como o processo 1\to2 foi isotérmico com V dobrando, a pressão no estado 2 é P_2=\frac{nRT_2}{V_2}=\frac{nRT_1}{2V_1}=\frac{P_1}{2}.
  • O processo 2\to3 é isobárico com pressão P_2 e leva o volume de V_2=2V_1 para V_3=V_1. Logo a temperatura no estado 3 é T_3=\frac{P_2V_3}{nR}=\frac{\left(\tfrac{P_1}{2}\right)V_1}{nR}=\frac{1}{2}\frac{P_1V_1}{nR}=\frac{T_1}{2}.Resumindo: T_2=T_1 e T_3=\dfrac{T_1}{2}.

Passo 4

Analisando o processo 2 \,2\to3😃 contração isobárica (pressão P_2 constante).
  • Trabalho realizado pelo gás numa transformação isobárica: W_{23}=P_2\,(V_3-V_2).Substituindo V_3=V_1, V_2=2V_1 e P_2=\dfrac{P_1}{2}: W_{23}=P_2\,(V_1-2V_1)=-P_2V_1=-\frac{P_1}{2}V_1.Usando P_1V_1=nRT_1 obtemos W_{23}=-\frac{1}{2}nRT_1.(O sinal negativo indica que o trabalho é feito sobre o gás.)
  • Calor trocado num processo isobárico: Q_{23}=nC_P(T_3-T_2).
    • Relação entre capacidades para gás ideal por mol: C_P-C_V=R e \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}.
    • Expressar C_P e C_V em função de \gamma: resolvendo temos C_V=\dfrac{R}{\gamma-1} e C_P=\dfrac{\gamma R}{\gamma-1}.
  • Assim Q_{23}=n\frac{\gamma R}{\gamma-1}(T_3-T_2) =n\frac{\gamma R}{\gamma-1}\left(\frac{T_1}{2}-T_1\right) =-nRT_1\frac{\gamma}{2(\gamma-1)}.(Negativo: calor liberado pelo gás neste processo.)

Passo 5

Analisando o processo 3 \,3\to1😃 aquecimento a volume constante.
  • Trabalho realizado: como V é constante, W_{31}=0.
  • Calor trocado a volume constante: Q_{31}=nC_V(T_1-T_3).
    Usando C_V=\dfrac{R}{\gamma-1} e T_3=T_1/2, Q_{31}=n\frac{R}{\gamma-1}\left(T_1-\frac{T_1}{2}\right) =nRT_1\frac{1}{2(\gamma-1)}.(Positivo: calor recebido pelo gás.)

Passo 6

Calcular o trabalho líquido realizado pelo gás no ciclo.
  • Soma dos trabalhos: W_{\text{líquido}}=W_{12}+W_{23}+W_{31} =nRT_1\ln 2 -\frac{1}{2}nRT_1 + 0.íLogo W_{\text{líquido}}=nRT_1\left(\ln 2-\frac{1}{2}\right).í

Passo 7

Calcular o calor recebido total Q_{\text{in}}.
  • Devemos somar apenas as trocas de calor positivas (quando o gás recebe calor). Dos três processos:
    • Q_{12}=nRT_1\ln 2>0 (recebido).
    • Q_{23}=-nRT_1\frac{\gamma}{2(\gamma-1)}<0 (liberado).
    • Q_{31}=nRT_1\frac{1}{2(\gamma-1)}>0 (recebido).
  • Portanto Q_{\text{in}}=Q_{12}+Q_{31} =nRT_1\left(\ln 2+\frac{1}{2(\gamma-1)}\right).

Passo 8

Escrever o rendimento \eta e simplificar simbolicamente.
  • Definição: \eta=\frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{in}}} =\frac{nRT_1\left(\ln 2-\dfrac{1}{2}\right)}{nRT_1\left(\ln 2+\dfrac{1}{2(\gamma-1)}\right)}.í
  • Cancelando nRT_1 (aparecem em numerador e denominador): \boxed{\displaystyle \eta=\frac{\ln 2-\tfrac{1}{2}}{\ln 2+\dfrac{1}{2(\gamma-1)}}.}Esta é a expressão geral do rendimento em função de \gamma.

Passo 9

Substituir \gamma=1,67 e calcular numericamente.
  • Calcular constantes numéricas: \gamma-1=1,67-1=0,67, \qquad 2(\gamma-1)=1,34, \qquad \frac{1}{2(\gamma-1)}=\frac{1}{1,34}\approx0,74626866.E \ln 2\approx0,69314718.
  • Numerador: \ln 2-\tfrac{1}{2}\approx0,69314718-0,5=0,19314718.
  • Denominador: \ln 2+\frac{1}{2(\gamma-1)}\approx0,69314718+0,74626866=1,43941584.
  • Dividindo: \eta\approx\frac{0,19314718}{1,43941584}\approx0,134173.

Passo 10

Interpretação final e encorajamento.
  • O rendimento do ciclo com \gamma=1,67 é aproximadamente 0,134, ou seja 13{,}4\%.
  • Pequeno incentivo: ciclos com isoterma geralmente dão trabalho positivo, mas as etapas isobárica e isocórica alteram muito o balanço de calor; ver a expressão simbólica ajuda a ver como \gamma afeta o rendimento. Você já tem a fórmula; num exame, é suficiente seguir esses passos e cancelar nRT_1 para chegar rápido ao resultado.

Resposta

\eta\approx0,134\quad(\text{ou }13{,}4\% )

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