Questão 2 (
pontos) Um gás ideal com
sofre uma expansão isotérmica em que seu volume dobra, seguida de uma contração isobárica até o volume inicial, e de aquecimento, a volume constante, até a temperatura inicial.
Calcule o rendimento desse ciclo.
Calcule o rendimento desse ciclo.
Passo 1
Vou primeiro listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Constante adiabática do gás:
. - Ciclo composto por três processos, partindo do estado 1:
- Expansão isotérmica de 1 para 2: o volume dobra, isto é,
, e a temperatura permanece . - Contração isobárica de 2 para 3: pressão constante (igual à pressão em 2) e o volume volta ao valor inicial, isto é,
. - Aquecimento a volume constante de 3 para 1:
constante e a temperatura volta para .
- Expansão isotérmica de 1 para 2: o volume dobra, isto é,
- Não são fornecidos valores numéricos para
nem para o número de mols ; portanto faremos a resolução em termos de e a resposta ficará independente desses parâmetros (ou seja, o rendimento será uma função de somente).
- Constante adiabática do gás:
-
O que o enunciado pede:
- Calcular o rendimento (eficiência) do ciclo termodinâmico, definido por
onde é o trabalho total realizado pelo gás no ciclo e é a soma dos calores recebidos (apenas as entradas de calor, não as saídas).
- Calcular o rendimento (eficiência) do ciclo termodinâmico, definido por
Passo 2
Analisando o processo 1
😃 expansão isotérmica a
.
- Conceito rápido: para um gás ideal em processo isotérmico a temperatura
é constante, logo a variação da energia interna é zero: . Pela primeira lei da termodinâmica (toda o calor recebido é convertido em trabalho realizado pelo gás). - Trabalho realizado num processo isotérmico ideal (por
mols): Substituindo , - Portanto o calor trocado nesse processo é
Passo 3
Determinar as condições no estado 2 e no estado 3 (usar a equação de estado do gás ideal
).
- Como o processo
foi isotérmico com dobrando, a pressão no estado 2 é - O processo
é isobárico com pressão e leva o volume de para . Logo a temperatura no estado 3 é Resumindo: e .
Passo 4
Analisando o processo 2
😃 contração isobárica (pressão
constante).
- Trabalho realizado pelo gás numa transformação isobárica:
Substituindo , e : Usando obtemos (O sinal negativo indica que o trabalho é feito sobre o gás.) - Calor trocado num processo isobárico:
. - Relação entre capacidades para gás ideal por mol:
e . - Expressar
e em função de : resolvendo temos e .
- Relação entre capacidades para gás ideal por mol:
- Assim
(Negativo: calor liberado pelo gás neste processo.)
Passo 5
Analisando o processo 3
😃 aquecimento a volume constante.
- Trabalho realizado: como
é constante, . - Calor trocado a volume constante:
.
Usandoe , (Positivo: calor recebido pelo gás.)
Passo 6
Calcular o trabalho líquido realizado pelo gás no ciclo.
- Soma dos trabalhos:
Logo
Passo 7
Calcular o calor recebido total
.
- Devemos somar apenas as trocas de calor positivas (quando o gás recebe calor). Dos três processos:
-
(recebido). -
(liberado). -
(recebido).
-
- Portanto
Passo 8
Escrever o rendimento
e simplificar simbolicamente.
- Definição:
- Cancelando
(aparecem em numerador e denominador): Esta é a expressão geral do rendimento em função de .
Passo 9
Substituir
e calcular numericamente.
- Calcular constantes numéricas:
E - Numerador:
- Denominador:
- Dividindo:
Passo 10
Interpretação final e encorajamento.
- O rendimento do ciclo com
é aproximadamente , ou seja . - Pequeno incentivo: ciclos com isoterma geralmente dão trabalho positivo, mas as etapas isobárica e isocórica alteram muito o balanço de calor; ver a expressão simbólica ajuda a ver como
afeta o rendimento. Você já tem a fórmula; num exame, é suficiente seguir esses passos e cancelar para chegar rápido ao resultado.