QUESTÃO 4 ( \mathbf{2 , 5} pontos) - Um tanque de volume 5 \mathrm{~m}^{3}, RÍGIDO e FECHADO, contém água. Inicialmente, a pressão é 3 bar e temperatura 200^{\circ} \mathrm{C}. O tanque é colocado em um ambiente com temperatura inferior à da água do tanque, iniciando um processo de transferência de calor e resfriamento da água. Ao final do processo de resfriamento, a temperatura da água é 25^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a transferência de calor do processo.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pedido: determinar a transferência de calor do processo (quantidade de calor trocada, Q), sabendo que o tanque é rígido e fechado.
  • Dados fornecidos: V=5\\ \mathrm{m^3},\qquad \text{tanque rígido e fechado (volume fixo, massa constante)}í
p_1=3\\ \text{bar},\qquad T_1=200^\circ\mathrm{C}
T_2=25^\circ\mathrm{C}\\ (\text{estado final})
  • Observações importantes (do enunciado): o tanque é fechado (massa constante) e rígido (volume constante), portanto não há trabalho de deslocamento de fronteira ( W=0). Logo a primeira lei para o sistema fechado fica Q=\Delta U=m(u_2-u_1).
  • Tudo acima é o que precisamos usar; agora vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (com explicação didática):
  • Para um sistema fechado (massa constante) a primeira lei da termodinâmica é \Delta U = Q - W.Como o tanque é rígido, não há trabalho de fronteira ( W=0). Portanto Q = \Delta U = m\bigl(u_2 - u_1\bigr).Aqui:
    • Q é a transferência de calor para o sistema (kJ). Valor negativo significa calor saindo do sistema.
    • m é a massa de água no tanque (kg) — constante.
    • u_1 e u_2 são as energias internas específicas do fluido no estado 1 (inicial) e estado 2 (final), em \mathrm{kJ/kg}.
  • Nossa estratégia: (i) determinar m a partir do volume total e do volume específico inicial v_1; (ii) determinar o estado final e a energia interna específica u_2; (iii) determinar u_1; (iv) calcular Q=m(u_2-u_1).

Passo 3

Determinar o volume específico inicial v_1 e a massa m (explicando e mostrando as contas):
  • O estado inicial tem p_1=3\\ \text{bar} e T_1=200^\circ\mathrm{C}. Isso corresponde a vapor superaquecido (pois a temperatura de saturação à pressão de 3\\ \text{bar} é cerca de 133{,}5^\circ\mathrm{C}). Como a questão não fornece tabela de vapor aqui, usamos a aproximação do gás ideal para obter v_1 — método simples e aceitável para vapor superaquecido a pressões baixas/moderadas: v_1=\frac{R\,T_1}{p_1},onde R é a constante específica do vapor d’água: R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Atenção às unidades: p em kPa e T em K.
  • Converter: T_1=200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K},\qquad p_1=3\\ \text{bar}=300\\ \mathrm{kPa}.
  • Cálculo de v_1: v_1=\frac{0{,}4615\cdot 473{,}15}{300}=0{,}72817\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Então a massa do fluido no tanque é m=\frac{V}{v_1}=\frac{5}{0{,}72817}=6{,}867\\ \mathrm{kg}.
  • Interpretação: o tanque contém cerca de 6{,}87\\ \mathrm{kg} de vapor d’água (superaquecido) inicialmente.

Passo 4

Identificar o estado final e calcular a qualidade x (se houver mistura) — ensinando como interpretar:
  • Como o volume é fixo, o volume específico final v_2 é igual a v_1: v_2=v_1=0{,}72817\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • A temperatura final é T_2=25^\circ\mathrm{C}. Para T_2 fixo, a pressão de equilíbrio final será a pressão de saturação a 25^\circ\mathrm{C} (se houver líquido+vapor). Consultando tabelas de vapor saturado (valores padrão de tabela), tomamos os dados à temperatura 25^\circ\mathrm{C}: p_{\text{sat},25^\circ\mathrm{C}}=3{,}17\\ \mathrm{kPa},
v_f(25^\circ\mathrm{C})=0{,}001003\\ \mathrm{m^3/kg},
v_g(25^\circ\mathrm{C})=43{,}37\\ \mathrm{m^3/kg}.
(esses números são os valores usuais de tabelas de vapor saturado à 25^\circ\mathrm{C}.)
  • Observação: v_2 está muito maior que v_f (líquido) e muito menor que v_g (vapor). Portanto o estado final é uma mistura saturada (líquido + vapor) à T_2=25^\circ\mathrm{C}. A fração mássica de vapor (qualidade) x é obtida por v_2=(1-x)\,v_f + x\,v_g \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{v_2-v_f}{v_g-v_f}.
  • Como v_f é muito pequeno comparado a v_2, podemos aproximar x\approx v_2/v_g. Calculando com os valores: x=\frac{0{,}72817-0{,}001003}{43{,}37-0{,}001003}\approx\frac{0{,}72717}{43{,}368}\approx0{,}01679.
  • Interpretação: a mistura final contém cerca de 1{,}679\% de massa na fase vapor e 98{,}321\% na fase líquida.

Passo 5

Calcular a energia interna específica no estado final u_2 (usando tabela saturada e explicando a fórmula):
  • Em mistura saturada, a energia interna específica é u_2=(1-x)\,u_f(T_2)+x\,u_g(T_2).
  • Usando valores das tabelas saturadas à 25^\circ\mathrm{C} (valores padrões de tabela): u_f(25^\circ\mathrm{C})=104{,}83\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad u_g(25^\circ\mathrm{C})=2470{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.(estes valores vêm das tabelas de vapor saturado: u_f é a energia interna do líquido saturado; u_g é a do vapor saturado.)
  • Calculando u_2: u_2=(1-0{,}01679)\cdot 104{,}83 + 0{,}01679\cdot 2470{,}5.
u_2=0{,}98321\cdot 104{,}83 + 0{,}01679\cdot 2470{,}5 \approx 103{,}04 + 41{,}47 =144{,}51\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Determinar a energia interna específica inicial u_1 (explicando a relação entre h,u,p,v e uso da tabela superaquecida):
  • Para vapor superaquecido frequentemente temos dados de entalpia nas tabelas superaquecidas. Relação útil: h = u + p\,v \quad\Longrightarrow\quad u = h - p\,v.Aqui p em \mathrm{kPa}, v em \mathrm{m^3/kg} e então p\,v tem unidades \mathrm{kJ/kg}.
  • Consultando tabela superaquecida para vapor d’água em p_1=3\\ \text{bar} e T_1=200^\circ\mathrm{C}, o valor típico de entalpia é h_1\approx 2862\\ \mathrm{kJ/kg}.(este é um valor padrão de tabela superaquecida; estou usando-o como valor tabelado.)
  • Já temos v_1=0{,}72817\\ \mathrm{m^3/kg} e p_1=300\\ \mathrm{kPa}. Então u_1=h_1-p_1\,v_1=2862 - 300\cdot 0{,}72817.
u_1=2862 - 218{,}451\approx 2643{,}55\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Interpretação: a energia interna específica inicial do vapor superaquecido é cerca de 2643{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Calcular a transferência de calor Q pelo balanço de energia e interpretar o sinal:
  • Temos m=6{,}867\\ \mathrm{kg}, u_1\approx 2643{,}55\\ \mathrm{kJ/kg} e u_2\approx 144{,}51\\ \mathrm{kJ/kg}. Então Q = m\bigl(u_2 - u_1\bigr)=6{,}867\cdot(144{,}51-2643{,}55)\\ \mathrm{kJ}.
Q=6{,}867\cdot(-2499{,}04)\approx -17157{,}7\\ \mathrm{kJ}.
  • Em unidades mais usuais: Q\approx -17{,}16\\ \mathrm{MJ}.
  • Interpretação do sinal: o resultado é negativo, logo há liberação de calor do sistema para o ambiente (o vapor condensou em grande parte e liberou calor durante o resfriamento).

Resposta

-17{,}16\\ \mathrm{MJ}

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