4- Questão:
Para a \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} líquido, o coeficiente de compressibilidade isotérmica é dado por:
k=\frac{c}{V(P+b)}
onde c e b são funções unicamente da temperatura. Se 1 Kg de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} liquido é comprimida isotermicamente e reversivelmente de 1 para 500 atm na temperatura de 60^{\circ} \mathrm{C}, qual o trabalho que é requerido? \mathrm{Em} T=60^{\circ} \mathrm{C}, b=2700 \mathrm{~atm} e c=0,125 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho requerido para comprimir isotermicamente e reversivelmente 1 kg de água líquida de 1\\ \text{atm} até 500\\ \text{atm} a 60^\circ\text{C}. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Relação para o coeficiente de compressibilidade isotérmica:
k=\frac{c}{V(P+b)}
onde c e b são funções apenas da temperatura.
  • Valores dados em T=60^\circ\text{C}:
    • b = 2700\\ \text{atm}.
    • c = 0,125\\ \text{cm}^3/\text{g}.
  • Massa a ser comprimida: m=1\\ \text{kg}=1000\\ \text{g}.
  • Pressões inicial e final:
    • P_1=1\\ \text{atm}.
    • P_2=500\\ \text{atm}.
O que se pede: calcular o trabalho requerido (energia) para esse processo isotérmico e reversível. Observação: o enunciado não forneceu volume inicial explicitamente, por isso é importante checar se a fórmula permite eliminar V — vamos ver no desenvolvimento.

Passo 2

Entender a relação entre compressibilidade e variação de volume: por definição o coeficiente de compressibilidade isotérmica é
k\equiv -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T.
Aqui V é o volume específico (volume por unidade de massa) se c está em \text{cm}^3/\text{g} — por isso usamos v para o volume específico quando preciso. Explicando devagar:
  • V (ou v) representa o volume ocupado por unidade de massa (unidades \text{cm}^3/\text{g} no nosso uso).
  • \left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T é a taxa de variação do volume específico quando se altera a pressão, mantendo a temperatura fixa.
  • O sinal menos aparece porque aumentar a pressão normalmente diminui o volume.
Substituindo a expressão dada para k na definição:
-\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T=\frac{c}{v(P+b)}.
Aqui usei v para enfatizar que é volume específico (unidade \text{cm}^3/\text{g}); observe que v cancela dos dois lados, ficando uma equação simples para \partial v/\partial P.

Passo 3

Isolar \dfrac{\partial v}{\partial P} e interpretar:
-\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T=\frac{c}{v(P+b)} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T = -\frac{c}{P+b}.
Comentário didático: note que o volume específico v desapareceu da expressão do lado direito — isso é ótimo porque permite obter \mathrm{d}v em função apenas de P, sem precisar do valor numérico de v inicial. A unidade de c sendo \text{cm}^3/\text{g} garante que \partial v/\partial P tem unidade \text{cm}^3/\text{g} por atm, compatível.
Portanto, o diferencial de volume específico é
\mathrm{d}v = -\frac{c}{P+b}\,\mathrm{d}P.

Passo 4

Expressar o trabalho reversível por unidade de massa (trabalho específico) e mudar a variável de integração para P.
Para um processo reversível isotérmico, o trabalho realizado pelo sistema (energia saída) é
\delta w_\text{rev} = -P\,\mathrm{d}v.
Como queremos o trabalho requerido (trabalho feito sobre o fluido), tomamos o módulo/valor positivo do trabalho realizado sobre o sistema; usando a convenção de sinais, o trabalho específico requerido é
w_{\text{espec}} = -\int_{v_1}^{v_2} P\,\mathrm{d}v.
Agora substituímos \mathrm{d}v em função de \mathrm{d}P:
w_{\text{espec}} = -\int_{P_1}^{P_2} P\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}P}\right)_T \mathrm{d}P = -\int_{P_1}^{P_2} P\left(-\frac{c}{P+b}\right)\mathrm{d}P = c\int_{P_1}^{P_2}\frac{P}{P+b}\,\mathrm{d}P.

Passo 5

Resolver a integral analiticamente. Vamos integrar:
\int\frac{P}{P+b}\,\mathrm{d}P =\int\left(1-\frac{b}{P+b}\right)\mathrm{d}P = P - b\ln(P+b) + C.
Portanto o trabalho específico (por grama) é
w_{\text{espec}} = c\Big[ P - b\ln(P+b) \Big]_{P_1}^{P_2}.
Explicando: essa primitiva foi obtida separando a fração em 1 - \dfrac{b}{P+b}; a integral de 1 é P e a integral de \dfrac{1}{P+b} é \ln(P+b).

Passo 6

Aplicar os limites e incluir a massa total para obter o trabalho total.
Primeiro, escrever explicitamente:
w_{\text{espec}} = c\big( P_2 - b\ln(P_2+b) - P_1 + b\ln(P_1+b)\big).
Como c foi dado em \text{cm}^3/\text{g}, este resultado tem unidade \text{cm}^3\cdot\text{atm}/\text{g} (pois P e b estão em atm). Para o trabalho total para massa m (em g):
W_{\text{total}} = m\, w_{\text{espec}}.
Substituindo números:
  • c=0{,}125\\ \text{cm}^3/\text{g},
  • m=1000\\ \text{g},
  • P_1=1\\ \text{atm},
  • P_2=500\\ \text{atm},
  • b=2700\\ \text{atm}.
Então
W_{\text{total}} = (1000)(0{,}125)\Big[ (500-2700\ln(500+2700)) - (1-2700\ln(1+2700))\Big]\\ \text{cm}^3\cdot\text{atm}.
Simplificando o fator inicial:
1000\times 0{,}125 = 125,
logo
W_{\text{total}} = 125\Big[499 - 2700\ln\!\left(\frac{3200}{2701}\right)\Big]\\ \text{cm}^3\cdot\text{atm},
pois 500-1=499 e \ln(3200)-\ln(2701)=\ln(3200/2701).

Passo 7

Converter para Joules (unidade SI). A conversão é:
1\\ \text{atm}\cdot 1\\ \text{cm}^3 = (1{,}01325\times10^5\\ \text{Pa})\times(1\times10^{-6}\\ \text{m}^3) = 0{,}101325\\ \text{J}.
Portanto, calculamos numericamente a expressão dentro dos colchetes e multiplicamos por 125 e por 0{,}101325\\ \text{J/}(\text{atm}\cdot\text{cm}^3).
Avaliação numérica (apenas operações necessárias para prova):
\ln\!\left(\frac{3200}{2701}\right)\approx 0{,}1695\quad(\text{aprox.}),
2700\ln\!\left(\frac{3200}{2701}\right)\approx 2700\times0{,}1695\approx 457{,}7,
499-2700\ln\!\left(\frac{3200}{2701}\right)\approx 499-457{,}7\approx 41{,}3,
125\times 41{,}3 \approx 5162{,}5\\ \text{cm}^3\cdot\text{atm},
W_{\text{total}}\approx 5162{,}5\times 0{,}101325\\ \text{J}\approx 523\\ \text{J}.
(Aproximação final arredondada a três algarismos significativos.)

Passo 8

Interpretação física e sinal: o valor encontrado é o trabalho que deve ser fornecido ao sistema (trabalho feito sobre a massa de água) para comprimi-la reversivelmente de 1\\ \text{atm} a 500\\ \text{atm} a 60^\circ\text{C}. O sinal positivo indica energia requerida para a compressão.

Resposta

523 J

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