4- Questão:
Para a
líquido, o coeficiente de compressibilidade isotérmica é dado por:
onde
e
são funções unicamente da temperatura. Se 1 Kg de
liquido é comprimida isotermicamente e reversivelmente de 1 para 500 atm na temperatura de
, qual o trabalho que é requerido?
e
.
Para a
Passo 1
O enunciado pede o trabalho requerido para comprimir isotermicamente e reversivelmente 1 kg de água líquida de
até
a
. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Relação para o coeficiente de compressibilidade isotérmica:
onde
e
são funções apenas da temperatura.
- Valores dados em
: -
. -
.
-
- Massa a ser comprimida:
. - Pressões inicial e final:
-
. -
.
-
O que se pede: calcular o trabalho requerido (energia) para esse processo isotérmico e reversível. Observação: o enunciado não forneceu volume inicial explicitamente, por isso é importante checar se a fórmula permite eliminar
— vamos ver no desenvolvimento.
Passo 2
Entender a relação entre compressibilidade e variação de volume: por definição o coeficiente de compressibilidade isotérmica é
Aqui
é o volume específico (volume por unidade de massa) se
está em
— por isso usamos
para o volume específico quando preciso. Explicando devagar:
-
(ou ) representa o volume ocupado por unidade de massa (unidades no nosso uso). -
é a taxa de variação do volume específico quando se altera a pressão, mantendo a temperatura fixa. - O sinal menos aparece porque aumentar a pressão normalmente diminui o volume.
Substituindo a expressão dada para
na definição:
Aqui usei
para enfatizar que é volume específico (unidade
); observe que
cancela dos dois lados, ficando uma equação simples para
.
Passo 3
Isolar
e interpretar:
Comentário didático: note que o volume específico
desapareceu da expressão do lado direito — isso é ótimo porque permite obter
em função apenas de
, sem precisar do valor numérico de
inicial. A unidade de
sendo
garante que
tem unidade
por atm, compatível.
Portanto, o diferencial de volume específico é
Passo 4
Expressar o trabalho reversível por unidade de massa (trabalho específico) e mudar a variável de integração para
.
Para um processo reversível isotérmico, o trabalho realizado pelo sistema (energia saída) é
Como queremos o trabalho requerido (trabalho feito sobre o fluido), tomamos o módulo/valor positivo do trabalho realizado sobre o sistema; usando a convenção de sinais, o trabalho específico requerido é
Agora substituímos
em função de
:
Passo 5
Resolver a integral analiticamente. Vamos integrar:
Portanto o trabalho específico (por grama) é
Explicando: essa primitiva foi obtida separando a fração em
; a integral de
é
e a integral de
é
.
Passo 6
Aplicar os limites e incluir a massa total para obter o trabalho total.
Primeiro, escrever explicitamente:
Como
foi dado em
, este resultado tem unidade
(pois
e
estão em atm). Para o trabalho total para massa
(em g):
Substituindo números:
-
, -
, -
, -
, -
.
Então
Simplificando o fator inicial:
logo
pois
e
.
Passo 7
Converter para Joules (unidade SI). A conversão é:
Portanto, calculamos numericamente a expressão dentro dos colchetes e multiplicamos por
e por
.
Avaliação numérica (apenas operações necessárias para prova):
(Aproximação final arredondada a três algarismos significativos.)
Passo 8
Interpretação física e sinal: o valor encontrado é o trabalho que deve ser fornecido ao sistema (trabalho feito sobre a massa de água) para comprimi-la reversivelmente de
a
a
. O sinal positivo indica energia requerida para a compressão.
Resposta
523 J