Exercício 3: Ar é comprimido adiabaticamente em um sistema pistão-cilindro de um estado a 1 bar e 300 K até um estado a 10 bar e 600 K . O ar pode ser modelado como um gás ideal e os efeitos de energia cinética e potencial podem ser ignorados.
Determine:
a) a quantidade de entropia produzida, em kJ/K por kg de ar, durante a compressão.
b) o mínimo trabalho teórico necessário, em kJ por kg de ar, para uma compressão adiabática do estado inicial até uma pressão final de 10 bar.
Determine:
a) a quantidade de entropia produzida, em kJ/K por kg de ar, durante a compressão.
b) o mínimo trabalho teórico necessário, em kJ por kg de ar, para uma compressão adiabática do estado inicial até uma pressão final de 10 bar.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas (peguei todos os dados do enunciado):
- Estado inicial:
, . - Estado final (real):
, . - O ar é tratado como gás ideal; efeitos de energia cinética e potencial são desprezíveis; o processo é adiabático (sem transferência de calor).
As perguntas são:
(a) determinar a quantidade de entropia produzida por unidade de massa durante a compressão (em por kg de ar);
(b) determinar o mínimo trabalho teórico necessário (em por kg de ar) para uma compressão adiabática do estado inicial até
.
(a) determinar a quantidade de entropia produzida por unidade de massa durante a compressão (em
(b) determinar o mínimo trabalho teórico necessário (em
Passo 2
Assunções e propriedades numéricas que vou usar (isso é padrão em problemas de termodinâmica quando não são dadas tabelas):
- Vou assumir capacidades caloríficas constantes na faixa de temperatura considerada. Para o ar, valores típicos:
- Essas constantes serão usadas em fórmulas abaixo; explico por quê na sequência. Se o exame usar tabelas de propriedades, o procedimento é o mesmo, só mudam os números.
Passo 3
Lembrete físico e fórmula para a entropia produzida:
- Para um sistema fechado a qualquer processo, o balanço de entropia diz
Como o processo é adiabático ( ), tem-se Ou seja, a entropia gerada por unidade de massa é simplesmente a variação de entropia do ar entre os estados 1 e 2. - Para um gás ideal com
constante, a variação de entropia por unidade de massa ao mudar de para é dada por Explico rapidamente de onde vem: a equação diferencial de entropia para gás ideal é ; integrar entre 1 e 2 com constantes dá a expressão acima.
Passo 4
Cálculo numérico da entropia produzida (parte a):
- Primeiro calcule os logaritmos naturais:
- Agora multiplico por
e :
- Subtraindo:
- Interpretação curta: o valor é positivo, como deve ser (irreversibilidades produzem entropia).
Passo 5
Comentário de incentivo curto: beleza — a entropia gerada é pequena numericamente (0,036
), mas não é zero — isso mostra que a compressão adiabática fornecida pelo enunciado é irreversível.
Passo 6
Conceito para o trabalho mínimo (parte b):
- O “mínimo trabalho” necessário para comprimir adiabaticamente de
até corresponde ao trabalho para um processo adiabático reversível (isto é, isentrópico). Por que? Porque irreversibilidades durante a compressão aumentam a energia interna final para a mesma pressão e, portanto, exigem trabalho adicional; o menor trabalho é o caso reversível. - Para um processo isentrópico em gás ideal com
constantes, vale a relação onde (razão de capacidades caloríficas). Aqui é a temperatura final no processo reversível isentrópico que leva a .
Passo 7
Cálculo de
e do trabalho mínimo:
- Calculo de
: Assim . - Agora o
: Calcule . Logo - Trabalho mínimo por unidade de massa: para processo adiabático reversível fechado a trabalho de fronteira, o trabalho feito sobre o gás é igual ao aumento da energia interna:
Substituindo:
Passo 8
Comentário final curto sobre consistência:
- Note que o estado final real fornecido (
) tem temperatura maior que . Isso é consistente com entropia produzida positiva: a compressão irreversível levou a um aquecimento adicional e portanto exigiu mais trabalho do que o mínimo teórico calculado.
Resposta
(a)
(b)
(b)