Exercício 3: Ar é comprimido adiabaticamente em um sistema pistão-cilindro de um estado a 1 bar e 300 K até um estado a 10 bar e 600 K . O ar pode ser modelado como um gás ideal e os efeitos de energia cinética e potencial podem ser ignorados.
Determine:
a) a quantidade de entropia produzida, em kJ/K por kg de ar, durante a compressão.
b) o mínimo trabalho teórico necessário, em kJ por kg de ar, para uma compressão adiabática do estado inicial até uma pressão final de 10 bar.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas (peguei todos os dados do enunciado):
  • Estado inicial: P_1=1\\ \text{bar}, T_1=300\\ \text{K}.
  • Estado final (real): P_2=10\\ \text{bar}, T_2=600\\ \text{K}.
  • O ar é tratado como gás ideal; efeitos de energia cinética e potencial são desprezíveis; o processo é adiabático (sem transferência de calor).
As perguntas são:
(a) determinar a quantidade de entropia produzida por unidade de massa durante a compressão (em \mathrm{kJ}\,\mathrm{K}^{-1} por kg de ar);
(b) determinar o mínimo trabalho teórico necessário (em \mathrm{kJ} por kg de ar) para uma compressão adiabática do estado inicial até P_2=10\\ \text{bar}.

Passo 2

Assunções e propriedades numéricas que vou usar (isso é padrão em problemas de termodinâmica quando não são dadas tabelas):
  • Vou assumir capacidades caloríficas constantes na faixa de temperatura considerada. Para o ar, valores típicos: c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1},\qquad c_v = 0{,}718\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1},\qquad R = c_p-c_v = 0{,}287\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Essas constantes serão usadas em fórmulas abaixo; explico por quê na sequência. Se o exame usar tabelas de propriedades, o procedimento é o mesmo, só mudam os números.

Passo 3

Lembrete físico e fórmula para a entropia produzida:
  • Para um sistema fechado a qualquer processo, o balanço de entropia diz \Delta S = S_{\text{gen}} + \int \frac{\delta Q}{T}.Como o processo é adiabático ( \delta Q=0), tem-se S_{\text{gen}}=\Delta S = S_2-S_1.Ou seja, a entropia gerada por unidade de massa é simplesmente a variação de entropia do ar entre os estados 1 e 2.
  • Para um gás ideal com c_p constante, a variação de entropia por unidade de massa ao mudar de (P_1,T_1) para (P_2,T_2) é dada por s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).Explico rapidamente de onde vem: a equação diferencial de entropia para gás ideal é ds = c_p\,dT/T - R\,dP/P; integrar entre 1 e 2 com c_p,R constantes dá a expressão acima.

Passo 4

Cálculo numérico da entropia produzida (parte a):
  • Primeiro calcule os logaritmos naturais: \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!(600/300)=\ln 2 = 0{,}693147\ldots
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln\!(10/1)=\ln 10 = 2{,}302585\ldots
  • Agora multiplico por c_p e R: c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=1{,}005\times 0{,}693147 = 0{,}6966\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}
R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=0{,}287\times 2{,}302585 = 0{,}6608\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}
  • Subtraindo: s_{\text{gen}} = s_2-s_1 = 0{,}6966 - 0{,}6608 = 0{,}0358\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Interpretação curta: o valor é positivo, como deve ser (irreversibilidades produzem entropia).

Passo 5

Comentário de incentivo curto: beleza — a entropia gerada é pequena numericamente (0,036 \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}), mas não é zero — isso mostra que a compressão adiabática fornecida pelo enunciado é irreversível.

Passo 6

Conceito para o trabalho mínimo (parte b):
  • O “mínimo trabalho” necessário para comprimir adiabaticamente de P_1 até P_2 corresponde ao trabalho para um processo adiabático reversível (isto é, isentrópico). Por que? Porque irreversibilidades durante a compressão aumentam a energia interna final para a mesma pressão e, portanto, exigem trabalho adicional; o menor trabalho é o caso reversível.
  • Para um processo isentrópico em gás ideal com c_p,c_v constantes, vale a relação \frac{T_{2s}}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}},onde k=\dfrac{c_p}{c_v} (razão de capacidades caloríficas). Aqui T_{2s} é a temperatura final no processo reversível isentrópico que leva P_1 a P_2.

Passo 7

Cálculo de T_{2s} e do trabalho mínimo:
  • Calculo de k: k=\frac{c_p}{c_v}=\frac{1{,}005}{0{,}718}=1{,}400\\ (\text{aprox.})Assim \dfrac{k-1}{k}=\dfrac{0{,}400}{1{,}400}=\dfrac{2}{7}\approx 0{,}285714.
  • Agora o T_{2s}: T_{2s}=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} =300\cdot 10^{\,0{,}285714}.Calcule 10^{0{,}285714}=e^{0{,}285714\ln 10}=e^{0{,}65788}\approx 1{,}9307. Logo T_{2s}\approx 300\times 1{,}9307 = 579{,}2\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho mínimo por unidade de massa: para processo adiabático reversível fechado a trabalho de fronteira, o trabalho feito sobre o gás é igual ao aumento da energia interna: w_{\min} = \Delta u = c_v\left(T_{2s}-T_1\right).Substituindo: w_{\min} = 0{,}718\cdot(579{,}2-300)=0{,}718\cdot 279{,}2 \approx 200{,}5\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}.

Passo 8

Comentário final curto sobre consistência:
  • Note que o estado final real fornecido ( T_2=600\\ \mathrm{K}) tem temperatura maior que T_{2s}\approx 579{,}2\\ \mathrm{K}. Isso é consistente com entropia produzida positiva: a compressão irreversível levou a um aquecimento adicional e portanto exigiu mais trabalho do que o mínimo teórico calculado.

Resposta

(a) 0{,}0358\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}
(b) 200{,}5\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}

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