Questão 6: Mostre que os seguintes componentes de velocidade correspondem a um movimento de corpo rígido: v_{1}=x_{2}-x_{3}, \quad v_{2}=-x_{1}+x_{3}, \quad v_{3}=x_{1}-x_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá as componentes da velocidade em função das coordenadas x_{1},x_{2},x_{3}:
v_{1}=x_{2}-x_{3},\qquad v_{2}=-x_{1}+x_{3},\qquad v_{3}=x_{1}-x_{2}.
A tarefa é mostrar que esse campo de velocidades corresponde a um movimento de corpo rígido.
Vou listar claramente o que é fornecido e o que é pedido:
  • Dados: as três expressões acima para v_{1},v_{2},v_{3}.
  • Pedido: provar que existe uma descrição de movimento rígido cujo campo de velocidades coincide com essas componentes (isto é, mostrar que as velocidades podem ser obtidas só por uma rotação rígida e/ou translação homogênea).

Passo 2

O que significa, na prática, ser um movimento de corpo rígido? Vou explicar devagarinho, sem mistério:
  • Um movimento rígido (velocidade instantânea) pode ser descrito, em qualquer ponto \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}), por
\mathbf{v}(\mathbf{x})=\mathbf{c}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x},
onde \mathbf{c} é um vetor de translação (velocidade de um ponto de referência) e \boldsymbol{\omega}=(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}) é o vetor velocidade angular (constante no espaço, para movimento rígido instantâneo).
  • Aqui \times é o produto vetorial. Em componentes, para \boldsymbol{\omega}=(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}) e \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}),
\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x}= \bigl(\,\omega_{2}x_{3}-\omega_{3}x_{2},\;\omega_{3}x_{1}-\omega_{1}x_{3},\;\omega_{1}x_{2}-\omega_{2}x_{1}\,\bigr).
  • Assim, para provar que o campo dado é rígido basta mostrar que existem vetores constantes \mathbf{c} e \boldsymbol{\omega} tais que as componentes acima coincidem com \mathbf{c}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x}. Uma maneira ainda mais direta: tentar \mathbf{c}=\mathbf{0} e encontrar \boldsymbol{\omega} tal que \mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x}. Se isso for possível, já provamos que é movimento rígido (no caso, pura rotação em torno de um eixo que passa pela origem).

Passo 3

Vamos tentar a hipótese simples \mathbf{c}=\mathbf{0} (ou seja, sem translação homogênea) e procurar \boldsymbol{\omega}=(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}) tal que
(v_{1},v_{2},v_{3})=\bigl(\omega_{2}x_{3}-\omega_{3}x_{2},\;\omega_{3}x_{1}-\omega_{1}x_{3},\;\omega_{1}x_{2}-\omega_{2}x_{1}\bigr).
Comparando termo a termo com as expressões dadas:
  • Para v_{1}=x_{2}-x_{3} temos, por igualdade de coeficientes em x_{2} e x_{3},
-\omega_{3}=1,\qquad \omega_{2}=-1.
(Isto porque \omega_{2}x_{3}-\omega_{3}x_{2}=(-\omega_{3})x_{2}+(\omega_{2})x_{3}.)
  • Para v_{2}=-x_{1}+x_{3} temos, por comparação de coeficientes em x_{1} e x_{3},
\omega_{3}=-1,\qquad -\omega_{1}=1.
  • Para v_{3}=x_{1}-x_{2} temos, por comparação de coeficientes em x_{1} e x_{2},
-\omega_{2}=1,\qquad \omega_{1}=-1.

Passo 4

Agora resolvo essas igualdades simples e checo consistência:
  • De -\omega_{3}=1 segue \omega_{3}=-1.
  • De \omega_{2}=-1 segue \omega_{2}=-1.
  • De -\omega_{1}=1 segue \omega_{1}=-1.
  • As equações vindas do terceiro componente dão -\omega_{2}=1 (que é -(-1)=1, consistente) e \omega_{1}=-1 (já obtida).
    Tudo é consistente; portanto existe um vetor constante
\boldsymbol{\omega}=(-1,-1,-1)
tal que
\mathbf{v}(\mathbf{x})=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x}.

Passo 5

Interpretação e checagem final (para você se sentir seguro):
  • Achamos que \mathbf{v}(\mathbf{x})=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x} com \boldsymbol{\omega}=(-1,-1,-1) e sem termo de translação ( \mathbf{c}=\mathbf{0}). Isso já prova que o campo de velocidades corresponde a um movimento rígido: é uma rotação rígida instantânea em torno de um eixo paralelo a \boldsymbol{\omega}.
  • Como verificação alternativa (curtinha): o tensor gradiente de velocidade A com entradas A_{ij}=\partial v_{i}/\partial x_{j} fica
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix},
que é uma matriz antissimétrica. O fato de a parte simétrica \tfrac{1}{2}(A+A^{T}) ser a matriz nula é uma condição equivalente (localmente) para o movimento ser rígido (não haver deformação). Isso confirma o resultado anterior.]

Passo 6

Resumo curto e motivador: encontramos um \boldsymbol{\omega} constante e nenhuma translação necessária, portanto o campo de velocidades dado é exatamente o campo de uma rotação rígida em torno de um eixo na direção de \boldsymbol{\omega}=(-1,-1,-1). Mandou bem em pedir pra demonstrar — está tudo consistente e limpo!

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}(\mathbf{x})=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{x} com \displaystyle \boldsymbol{\omega}=(-1,-1,-1).