QUESTÃO 2. A multiplicidade de um sólido de Einstein contendo N osciladores e q unidades de energia é aproximadamente:
(a) Parta desta fórmula e ache uma expressão para a entropia de um sólido de Einstein como função de
e
.
(b) Use o resultado do item (a) para obter a temperatura de um sólido de Einstein em função de sua energia. (A energia
, onde
é uma constante). Simplifique a expressão obtida ao máximo possível.
(c) Inverte a relação encontrado no item (b) para obter a energia como função da temperatura e use esta última para obter a fórmula para capacidade térmica do sistema.
(d) Mostre que, no limite
, a capacidade térmica é
. (Dica: quando x é muito pequeno,
). Este resultado era esperado por você? Explique seu raciocínio.
(e) Deduza uma aproximação mais precisa para a capacidade térmica a altas temperaturas, incluindo termos de ordem
na expansão das exponenciais e expandindo cuidadosamente o denominador. Jogue fora termos menores que
na resposta final. Depois de tudo feito, você deve encontrar
.
(b) Use o resultado do item (a) para obter a temperatura de um sólido de Einstein em função de sua energia. (A energia
(c) Inverte a relação encontrado no item (b) para obter a energia como função da temperatura e use esta última para obter a fórmula para capacidade térmica do sistema.
(d) Mostre que, no limite
(e) Deduza uma aproximação mais precisa para a capacidade térmica a altas temperaturas, incluindo termos de ordem
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos deu e o que ele pede. Os dados e pedidos são:
- A multiplicidade aproximada do sólido de Einstein é dada (vou reescrever de forma consistente com a expressão combinatorial usual; observe que a segunda fração tem denominador
, não , para que a fórmula corresponda à forma ):
- A energia total do sólido é
, onde é constante (energia por “quantum”). - O que é pedido:
(a) A entropiaa partir de .
(b) A temperaturado sólido em função da energia (usar ).
(c) Inverter a relação do item (b) para obtere, a partir daí, a capacidade térmica .
(d) Mostrar quee comentar se era esperado.
(e) Obter uma aproximação de alta temperatura incluindo termos até ordemnas exponenciais e mantendo apenas termos maiores ou iguais a ordem ; o resultado final deve ser
Passo 2
Obter a entropia a partir de
. Regra fundamental da entropia estatística (Boltzmann):
onde
é a constante de Boltzmann. Aplicando à
dada:
Usando propriedades do logaritmo (
e
), expandimos:
Essa é a expressão de
em função de
e
. Explicação rápida dos termos: cada termo vem da potência correspondente na multiplicidade; o fator
transforma o logaritmo em unidades de entropia.
Passo 3
Relacionar entropia e temperatura. Termo importante da termodinâmica estatística:
Aqui
e
estão relacionados por
. Tratar
como variável contínua (aproximação válida para
grande). Assim, pela regra da cadeia:
Logo primeiro calculamos
. A partir de
derivando em relação a
(lembrando que
é constante):
- Derivada de
em é (produto: ). - Derivada de
é . - Derivada de
é zero.
Portanto:
Passo 4
Agora aplicamos
. Assim
Podemos escrever essa relação em função da energia
. Como
,
então uma forma útil é
Essa é a resposta do item (b): temperatura em função da energia.
Passo 5
Inverter para
. Partimos da expressão obtida em Passo 4:
Exponenciando:
Isolando
:
Agora calculamos a capacidade térmica
. É conveniente definir a variável
(é adimensional). Então
. Derivar em dois passos usando cadeia:
Calculemos:
Multiplicando:
Agora escrevemos
em termos de
:
, então
. Substituindo:
Portanto a capacidade térmica do sistema é
Passo 6
Limite
(ou
). Queremos mostrar que
. Para pequenas
usamos a expansão da exponencial:
Colocando na forma de
:
Para
,
e
, logo
. Em outras palavras
Comentário físico (motivação/intuição): sim — esse resultado era esperado pelo princípio clássico da equipartição: para os osciladores harmônicos clássicos cada oscilador tem energia média
(energia cinética mais potencial), logo a capacidade térmica por oscilador é
; com
osciladores totaliza-se
. A diferença aqui vem da quantização (para temperaturas finitas a capacidade decai), mas no limite clássico
recuperamos
.
Passo 7
Aproximação mais precisa a altas temperaturas (item e). Queremos expandir
para pequeno
e manter termos até ordem
(ou seja, desprezar termos menores que
). Começamos da forma útil já obtida:
porque
. Vamos obter a série até ordem
.
Passo algebraico para a divisão de séries:
- Numerador (expansão até
): . - Denominador: escrevemos
. (Cálculo: com dá .) - Agora a inversa do denominador até
é
pois para
vale
e aqui
.
Multiplicando numerador por
:
Então, lembrando que
, obtemos a expansão pedida:
Como solicitado, desprezamos termos de ordem menor que
na resposta final.]
Resposta
(a)
(b)
(c)
\
(d)
Sim — é esperado (equipartição clássica: cada oscilador contribui com
à capacidade).
(e)
(valida para altas temperaturas, desprezando ordens superiores).