Um tanque de
contém ar na pressão de 7 MPa e
e está perfeitamente isolado. Uma válvula é aberta e mantida até a pressão do tanque chegar a 400 kPa . Calcule a massa
de ar descarregada do tanque.
Passo 1
O enunciado pede a massa de ar descarregada do tanque. Dados fornecidos:
- Volume do tanque:
. - Pressão inicial:
. - Temperatura inicial:
. - Pressão final no tanque:
. - O tanque é perfeitamente isolado (adiabático) e rígido (volume constante). A válvula é aberta até a pressão cair de
para .
Pergunta: calcular a massa de ar descarregada do tanque, isto é
onde
e
são as massas inicial e final dentro do tanque.
Passo 2
Observação física e escolha do modelo (breve): como o tanque é rígido e isolado e há perda de massa por escoamento, devemos aplicar o balanço de energia para o volume de controle que é o gás dentro do tanque. Para ar em condições comuns usaremos o modelo do gás ideal e propriedades específicas constantes (constantes de capacidade calorífica). Símbolos importantes:
-
: massa dentro do tanque em um instante. -
: energia interna específica (por unidade de massa), função apenas da temperatura para gás ideal. -
: entalpia específica. -
: constante do gás para o ar ( ). -
: razão de capacidades caloríficas (para ar tomaremos ).
Passo 3
Balanço de energia do gás no tanque (explicando cada termo):
- Energia interna total do gás no tanque é
. - Não há transferência de calor:
. - Não há trabalho de deslocamento do contorno (tanque rígido):
. - Há fluxo de massa saindo; a energia levada por massa que sai é a entalpia específica
(fluxo que atravessa a entrada/saída leva por kg).
O balanço de energia diferencial para o volume de controle dá
Relacionando
(porque
diminui quando sai massa), obtemos
Expandindo
e usando
resulta
Explicação: esta manipulação é importante e não é óbvia à primeira vista — mostra que a variação de temperatura está ligada à variação de massa através do termo
(o chamado trabalho de escoamento por unidade de massa).
Passo 4
Usando propriedades do gás ideal e capacidades específicas:
- Para gás ideal:
. - Energia interna específica
e .
Substituindo emobtemos
Rearranjando para separar variáveis:
Integramos entre os estados inicial e final:
Agora usamos
(lei dos gases ideais para o tanque rígido), então
Substituindo isso na relação integrada e simplificando dá (mostrando os passos algébricos):
Agrupando termos em
e usando
resulta
Colocando os termos com
juntos e resolvendo obtém-se a forma simples e útil
Comentário didático: esta relação aparece porque, para um tanque adiabático rígido com escoamento, a variação segue a mesma lei
(mesma forma da relação isentrópica
vs
), quando assumimos gás ideal e propriedades constantes.
Passo 5
Cálculo numérico de
. Usando
,
Relação das pressões:
Portanto
Logo
Passo 6
Calcular as massas inicial e final usando a equação dos gases ideais:
Constante do ar:
.
Massa inicial:
Cálculo numérico:
Massa final:
Cálculo numérico:
Passo 7
Massa descarregada:
Interpretação rápida: o ar dentro do tanque esfriou bastante durante o escoamento adiabático, reduzindo a massa remanescente; aproximadamente
saíram.