Questão 3 (3 pontos) Um cilindro-pistão contém 40 \% de oxigênio, 30 \% de hidrogênio e o restante de etano. Inicialmente, a pressão é de 1000 kPa , a temperatura de 1000 K e o volume de 0,01 \mathrm{~m}^{3}. Ocorre um processo de expansão segundo um processo politrópico (n=1,6) e ao final a mistura está a 100 kPa .
Determine:
a) a temperatura final;
b) o calor trocado com o meio;
c) a geração de entropia;

Passo 1

O enunciado descreve uma mistura de gases ideais (40 % mol de O_{2}, 30 % mol de H_{2} e 30 % mol de C_{2} H_{6}) num cilindro-pistão, com condições iniciais
P_{1}=1000\\ \mathrm{kPa},\quad T_{1}=1000\\ \mathrm{K},\quad V_{1}=0,01\\ \mathrm{m}^{3}
e sofre expansão seguindo a lei politrópica P\,V^{n}=\text{const} com n=1,6, até a pressão final P_{2}=100\\ \mathrm{kPa}.
Precisamos de (a) T_{2}, (b) o calor trocado Q e (c) a geração de entropia.

Passo 2

Como em todo processo politrópico reversível vale
P_{1}V_{1}^{n}=P_{2}V_{2}^{n} \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_{2}}{V_{1}}=\Bigl(\frac{P_{1}}{P_{2}}\Bigr)^{\!1/n}
e pela equação de estado do gás ideal
\frac{T_{2}}{T_{1}} =\frac{P_{2}V_{2}}{P_{1}V_{1}} =\frac{P_{2}}{P_{1}}\;\frac{V_{2}}{V_{1}} =\frac{P_{2}}{P_{1}}\Bigl(\frac{P_{1}}{P_{2}}\Bigr)^{\!1/n} =(0,1)\,(10)^{0{,}625}
Logo
T_{2} =1000\;\mathrm{K}\times0{,}1\times10^{0{,}625} \approx421{,}7\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Para calcular Q precisamos da massa m e dos calores específicos da mistura.
  1. Massa molar média
M_{\rm mix} =0{,}4\times32+0{,}3\times2+0{,}3\times30 =22{,}4\\ \mathrm{kg/kmol}.
  1. Constante de gás da mistura
R_{\rm mix} =\frac{R_{u}}{M_{\rm mix}} =\frac{8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\,K)}}{22{,}4\\ \mathrm{kg/kmol}} \approx0{,}3712\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
  1. Massa total pela equação de estado inicial
m=\frac{P_{1}V_{1}}{R_{\rm mix}T_{1}} =\frac{1000\times0{,}01}{0{,}3712\times1000} \approx0{,}02693\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Assumindo calores específicos constantes e idealidade, estimamos para cada componente \gamma_{\rm O_{2}}=\gamma_{\rm H_{2}}=1{,}4, \gamma_{\rm C_{2}H_{6}}=1{,}333, e calculamos
c_{v,i}=\frac{R_{i}}{\gamma_{i}-1},\quad c_{p,i}=\gamma_{i}c_{v,i},
e daí os valores médios c_{v,\rm mix}\approx0{,}9853\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} e c_{p,\rm mix}=c_{v,\rm mix}+R_{\rm mix}\approx1{,}3565\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
Pela 1.ª lei da termodinâmica para sistema fechado:
\Delta U =m\,c_{v,\rm mix}(T_{2}-T_{1}) \approx0{,}02693\cdot0{,}9853\,(421{,}7-1000) \approx-15{,}35\\ \mathrm{kJ},
W =\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n} =\frac{4{,}217-10}{1-1{,}6} \approx9{,}64\\ \mathrm{kJ},
Q=\Delta U+W\approx-15{,}35+9{,}64=-5{,}71\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

O processo politrópico aqui é realizado de modo quasistatístico e reversível, sem irreversibilidades internas exceto o calor trocado reversivelmente, logo a geração de entropia interna é zero:
\Delta S_{\rm gen}=0.

Resposta

T_{2} \approx 421,7 K
Q ≃ −5,71 kJ
ΔS₍gen₎ =0

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