Questão 2. (2,5 pontos) Um mol de gás ideal, com
, e inicialmente a pressão atmosférica e
passa por um ciclo formado pelas seguintes etapas: Compressão adiabática até atingir
ntemedioví, não lnwo
- Expansão isotérmica até 4 atm ;
F) Expansão adiabática até atingir a temperatura inicial (298,15 K);
- Processo isotérmico até o estado inicial.
Calcule o calor
, o trabalho
e as variações de energia interna
e entalpia
para cada etapa, e para o ciclo completo.
Dado: nos processos adiabáticos considere válida a equação abaixo:
F) Expansão adiabática até atingir a temperatura inicial (298,15 K);
Dado: nos processos adiabáticos considere válida a equação abaixo:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes dados diretamente do enunciado).
- Quantidade de gás:
mol. - Capacidade calorífica molar a pressão constante:
. - Estado inicial (estado 1): pressão
e temperatura . - Ciclo descrito (ordem):
- Compressão adiabática de
até . - Expansão isotérmica (à temperatura de
) até . - Expansão adiabática até retornar à temperatura inicial
(chegando a desconhecida). - Processo isotérmico (à temperatura
) que retorna ao estado inicial ( ).
- Compressão adiabática de
- Constante universal dos gases (usada):
. - A tarefa: para cada etapa e para o ciclo completo calcular o calor
, o trabalho , a variação de energia interna e a variação de entalpia . - Fórmula adiabática fornecida (usar):
.
Passo 2
Relembrando as fórmulas e convenções que vou usar (explicação didática e passo a passo):
- Convenção de sinais: adotarei a convenção usual de termodinâmica clássica: trabalho
positivo quando feito pelo sistema (o gás) sobre o ambiente; calor positivo quando recebido pelo sistema. A primeira lei é
onde
é a variação de energia interna do sistema.
- Para um gás ideal mono- ou poliatômico com capacidade molar constantes (aproximação usada aqui):
-
, onde é a capacidade molar a volume constante e . -
. - Relação entre capacidades:
.
-
- Processos importantes:
- Isotérmico (temperatura constante):
, , e o trabalho reversível é porque para temperatura fixa .
Neste processo o calor recebido é igual ao trabalho realizado:. - Adiabático reversível (sem troca de calor):
. A relação dada no enunciado é equivalente às relações usuais de um adiabático (note que , com ).
Para adiabático reversível temos então(porque e ).
- Isotérmico (temperatura constante):
- Estratégia prática: calcular temperaturas nos estados quando necessário, depois obter
e daí e ; para isoterma usar a fórmula do trabalho; para adiabático usar e , com .
Passo 3
Calcular constantes derivadas e valores numéricos iniciais:
- Primeiro
:
- Coeficiente
que aparece na fórmula adiabática:
Passo 4
Etapa 1 — compressão adiabática de
até
(estado
).
- Usar a fórmula adiabática fornecida para obter
:
- Cálculo aproximado passo a passo:
-
. - Expoente
. - Logo
. - Assim
-
- Variação de temperatura:
- Variação de energia interna:
(Sinal positivo porque a temperatura subiu.)
- Como o processo é adiabático,
. - Pela primeira lei,
. Portanto
(negativo: trabalho realizado sobre o gás).
- Variação de entalpia:
Passo 5
Etapa 2 — expansão isotérmica em
de
para
(estado
).
- Em uma isotérmica:
e . - Trabalho (sendo
):
- Como
, calcule: -
(constante auxiliar), -
-
- Calor trocado:
-
, .
Passo 6
Etapa 3 — expansão adiabática de
,
até retornar à temperatura inicial
(estado
).
- Como é adiabática e reversível, usar a relação inversa para pressão:
- Calcular
e . - Então
. - Observando os números (produto dá
), obtém-se .
- Então
- Assim
(boa verificação:
.)
- Variação de temperatura:
- Variação de energia interna:
- Como é adiabático,
. - Trabalho realizado pelo gás (agora positivo, pois o gás se expande):
- Variação de entalpia:
Passo 7
Etapa 4 — processo isotérmico em
de
até
(estado
).
- Isotérmico em
: , . - Trabalho:
- Como
, -
, -
(negativo porque é compressão isotérmica: trabalho é feito sobre o gás.)
-
- Calor trocado:
-
, .
Passo 8
Resultados do ciclo completo (somatório das etapas):
- Soma dos calores:
- Soma dos trabalhos:
(Consistência:
, porque
.)
- Variação total de energia interna no ciclo:
- Variação total de entalpia no ciclo:
Resposta
Etapa 1 (adiabática
,
,
):
Etapa 2 (isotérmica
,
,
):
Etapa 3 (adiabática
,
,
):
Etapa 4 (isotérmica
,
,
):
Ciclo completo: