Questão 2. (2,5 pontos) Um mol de gás ideal, com \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=29,1 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}), e inicialmente a pressão atmosférica e 298,15 \mathrm{~K} passa por um ciclo formado pelas seguintes etapas: Compressão adiabática até atingir 8 \mathrm{~atm} ;=8 ntemedioví, não lnwo
  1. Expansão isotérmica até 4 atm ;
    F) Expansão adiabática até atingir a temperatura inicial (298,15 K);
  2. Processo isotérmico até o estado inicial.
Calcule o calor (Q), o trabalho (W) e as variações de energia interna (\Delta U) e entalpia (\Delta H) para cada etapa, e para o ciclo completo.
Dado: nos processos adiabáticos considere válida a equação abaixo: \frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{R}{C_{P}}}
1 \mathrm{BAC}=10^{5} \mathrm{~Pa}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes dados diretamente do enunciado).
  • Quantidade de gás: n=1 mol.
  • Capacidade calorífica molar a pressão constante: C_{P}=29{,}1\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Estado inicial (estado 1): pressão P_{1}=1\\ \mathrm{atm}=10^{5}\\ \mathrm{Pa} e temperatura T_{1}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Ciclo descrito (ordem):
    1. Compressão adiabática de P_{1}=1\\ \mathrm{atm} até P_{2}=8\\ \mathrm{atm}.
    2. Expansão isotérmica (à temperatura de T_{2}) até P_{3}=4\\ \mathrm{atm}.
    3. Expansão adiabática até retornar à temperatura inicial T_{4}=T_{1}=298{,}15\\ \mathrm{K} (chegando a P_{4} desconhecida).
    4. Processo isotérmico (à temperatura T_{1}) que retorna ao estado inicial ( P_{1}=1\\ \mathrm{atm}).
  • Constante universal dos gases (usada): R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • A tarefa: para cada etapa e para o ciclo completo calcular o calor Q, o trabalho W, a variação de energia interna \Delta U e a variação de entalpia \Delta H.
  • Fórmula adiabática fornecida (usar): \dfrac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{R}{C_{P}}}.

Passo 2

Relembrando as fórmulas e convenções que vou usar (explicação didática e passo a passo):
  • Convenção de sinais: adotarei a convenção usual de termodinâmica clássica: trabalho W positivo quando feito pelo sistema (o gás) sobre o ambiente; calor Q positivo quando recebido pelo sistema. A primeira lei é
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação de energia interna do sistema.
  • Para um gás ideal mono- ou poliatômico com capacidade molar constantes (aproximação usada aqui):
    • \Delta U = n C_{V}\Delta T, onde C_{V} é a capacidade molar a volume constante e \Delta T=T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
    • \Delta H = n C_{P}\Delta T.
    • Relação entre capacidades: C_{P}-C_{V}=R.
  • Processos importantes:
    • Isotérmico (temperatura constante): \Delta U=0, \Delta H=0, e o trabalho reversível é W_{\text{isot}}=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right)=nRT\ln\!\left(\dfrac{P_{i}}{P_{f}}\right),porque para temperatura fixa V\propto 1/P.
      Neste processo o calor recebido é igual ao trabalho realizado: Q=W.
    • Adiabático reversível (sem troca de calor): Q=0. A relação dada no enunciado \dfrac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{R}{C_{P}}}é equivalente às relações usuais de um adiabático (note que \dfrac{R}{C_{P}}=\dfrac{\gamma-1}{\gamma}, com \gamma=C_{P}/C_{V}).
      Para adiabático reversível temos então \Delta U = -W (porque Q=0 e \Delta U = -W).
  • Estratégia prática: calcular temperaturas nos estados quando necessário, depois obter \Delta T e daí \Delta U e \Delta H; para isoterma usar a fórmula do trabalho; para adiabático usar Q=0 e \Delta U = n C_{V}\Delta T, com W=-\Delta U.

Passo 3

Calcular constantes derivadas e valores numéricos iniciais:
  • Primeiro C_{V}:
C_{V}=C_{P}-R=29{,}1-8{,}314=20{,}786\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Coeficiente \dfrac{R}{C_{P}} que aparece na fórmula adiabática:
\dfrac{R}{C_{P}}=\dfrac{8{,}314}{29{,}1}\approx 0{,}2857.

Passo 4

Etapa 1 — compressão adiabática de 1\\ \mathrm{atm} até 8\\ \mathrm{atm} (estado 1\to2).
  • Usar a fórmula adiabática fornecida para obter T_{2}:
T_{2}=T_{1}\left(\dfrac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{R}{C_{P}}} =298{,}15\cdot 8^{0{,}2857}.
  • Cálculo aproximado passo a passo:
    • \ln 8 \approx 2{,}079441542.
    • Expoente \dfrac{R}{C_{P}}\ln 8 \approx 0{,}2857\cdot 2{,}07944 \approx 0{,}5940.
    • Logo 8^{0{,}2857}=e^{0{,}5940}\approx 1{,}8114.
    • Assim
T_{2}\approx 298{,}15\times 1{,}8114 \approx 539{,}9\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T_{1\to2}=T_{2}-T_{1}\approx 539{,}9-298{,}15=241{,}75\\ \mathrm{K}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_{1\to2}=nC_{V}\Delta T_{1\to2}=1\cdot 20{,}786\cdot 241{,}75\approx 5{,}025{,}0\\ \mathrm{J}.
(Sinal positivo porque a temperatura subiu.)
  • Como o processo é adiabático, Q_{1\to2}=0.
  • Pela primeira lei, W_{1\to2}=Q-\Delta U=-\Delta U_{1\to2}. Portanto
W_{1\to2}\approx -5{,}025{,}0\\ \mathrm{J}
(negativo: trabalho realizado sobre o gás).
  • Variação de entalpia:
\Delta H_{1\to2}=nC_{P}\Delta T_{1\to2}=1\cdot 29{,}1\cdot 241{,}75\approx 7{,}034{,}9\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Etapa 2 — expansão isotérmica em T_{2} de P_{2}=8\\ \mathrm{atm} para P_{3}=4\\ \mathrm{atm} (estado 2\to3).
  • Em uma isotérmica: \Delta U=0 e \Delta H=0.
  • Trabalho (sendo T=T_{2}):
W_{2\to3}=nR T_{2}\ln\!\left(\dfrac{P_{2}}{P_{3}}\right) =1\cdot 8{,}314\cdot 539{,}9 \ln\!\left(\dfrac{8}{4}\right).
  • Como \ln(8/4)=\ln 2\approx 0{,}693147, calcule:
    • 8{,}314\cdot 0{,}693147\approx 5{,}760 (constante auxiliar),
    • W_{2\to3}\approx 5{,}760\times 539{,}9\approx 3{,}109{,}3\\ \mathrm{J}.
  • Calor trocado: Q_{2\to3}=W_{2\to3}\approx 3{,}109{,}3\\ \mathrm{J}.
  • \Delta U_{2\to3}=0, \Delta H_{2\to3}=0.

Passo 6

Etapa 3 — expansão adiabática de P_{3}=4\\ \mathrm{atm}, T_{3}=T_{2} até retornar à temperatura inicial T_{4}=T_{1}=298{,}15\\ \mathrm{K} (estado 3\to4).
  • Como é adiabática e reversível, usar a relação inversa para pressão:
\dfrac{P_{4}}{P_{3}}=\left(\dfrac{T_{4}}{T_{3}}\right)^{\frac{C_{P}}{R}}.
  • Calcular \dfrac{T_{4}}{T_{3}}=\dfrac{298{,}15}{539{,}9}\approx 0{,}55228 e \dfrac{C_{P}}{R}=\dfrac{29{,}1}{8{,}314}\approx 3{,}499.
    • Então \ln\!\left(\dfrac{P_{4}}{P_{3}}\right)=3{,}499\ln(0{,}55228).
    • Observando os números (produto dá -2{,}07944), obtém-se P_{4}/P_{3}=e^{-2{,}07944}=0{,}125.
  • Assim
P_{4}=P_{3}\times 0{,}125 = 4\\ \mathrm{atm}\times 0{,}125 = 0{,}5\\ \mathrm{atm}.
(boa verificação: P_{4}=0{,}5\\ \mathrm{atm}.)
  • Variação de temperatura:
\Delta T_{3\to4}=T_{4}-T_{3}=298{,}15-539{,}9=-241{,}75\\ \mathrm{K}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_{3\to4}=nC_{V}\Delta T_{3\to4}=1\cdot 20{,}786\cdot(-241{,}75)\approx -5{,}025{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Como é adiabático, Q_{3\to4}=0.
  • Trabalho realizado pelo gás (agora positivo, pois o gás se expande):
W_{3\to4}=-\Delta U_{3\to4}\approx +5{,}025{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Variação de entalpia:
\Delta H_{3\to4}=nC_{P}\Delta T_{3\to4}=1\cdot 29{,}1\cdot(-241{,}75)\approx -7{,}034{,}9\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Etapa 4 — processo isotérmico em T_{1} de P_{4}=0{,}5\\ \mathrm{atm} até P_{1}=1\\ \mathrm{atm} (estado 4\to1).
  • Isotérmico em T_{1}: \Delta U=0, \Delta H=0.
  • Trabalho:
W_{4\to1}=nR T_{1}\ln\!\left(\dfrac{P_{4}}{P_{1}}\right) =8{,}314\cdot 298{,}15\cdot \ln\!\left(\dfrac{0{,}5}{1}\right).
  • Como \ln(0{,}5)=-\ln 2\approx -0{,}693147,
    • 8{,}314\cdot 0{,}693147\approx 5{,}760,
    • W_{4\to1}\approx 5{,}760\times 298{,}15\approx -1{,}716{,}7\\ \mathrm{J}.
      (negativo porque é compressão isotérmica: trabalho é feito sobre o gás.)
  • Calor trocado: Q_{4\to1}=W_{4\to1}\approx -1{,}716{,}7\\ \mathrm{J}.
  • \Delta U_{4\to1}=0, \Delta H_{4\to1}=0.

Passo 8

Resultados do ciclo completo (somatório das etapas):
  • Soma dos calores:
Q_{\text{ciclo}}=Q_{1\to2}+Q_{2\to3}+Q_{3\to4}+Q_{4\to1} =0+3{,}109{,}3+0-1{,}716{,}7\approx 1{,}392{,}6\\ \mathrm{J}.
  • Soma dos trabalhos:
W_{\text{ciclo}}=W_{1\to2}+W_{2\to3}+W_{3\to4}+W_{4\to1} =-5{,}025{,}0+3{,}109{,}3+5{,}025{,}0-1{,}716{,}7\approx 1{,}392{,}6\\ \mathrm{J}.
(Consistência: Q_{\text{ciclo}}=W_{\text{ciclo}}, porque \Delta U_{\text{ciclo}}=0.)
  • Variação total de energia interna no ciclo:
\Delta U_{\text{ciclo}}=\sum \Delta U =5{,}025{,}0+0-5{,}025{,}0+0=0.
  • Variação total de entalpia no ciclo:
\Delta H_{\text{ciclo}}=\sum \Delta H =7{,}034{,}9+0-7{,}034{,}9+0=0.

Resposta

Etapa 1 (adiabática 1\to2, P:1\\ \mathrm{atm}\to8\\ \mathrm{atm}, T_{1}=298{,}15\\ \mathrm{K}\to T_{2}\approx 539{,}9\\ \mathrm{K}):
Q_{1\to2}=0\\ \mathrm{J}
W_{1\to2}\approx -5{,}025{,}0\\ \mathrm{J}
\Delta U_{1\to2}\approx +5{,}025{,}0\\ \mathrm{J}
\Delta H_{1\to2}\approx +7{,}034{,}9\\ \mathrm{J}
Etapa 2 (isotérmica 2\to3, P:8\\ \mathrm{atm}\to4\\ \mathrm{atm}, T_{2}\approx 539{,}9\\ \mathrm{K}):
Q_{2\to3}\approx +3{,}109{,}3\\ \mathrm{J}
W_{2\to3}\approx +3{,}109{,}3\\ \mathrm{J}
\Delta U_{2\to3}=0\\ \mathrm{J}
\Delta H_{2\to3}=0\\ \mathrm{J}
Etapa 3 (adiabática 3\to4, P_{3}=4\\ \mathrm{atm}\to P_{4}=0{,}5\\ \mathrm{atm}, T_{3}=539{,}9\\ \mathrm{K}\to T_{4}=298{,}15\\ \mathrm{K}):
Q_{3\to4}=0\\ \mathrm{J}
W_{3\to4}\approx +5{,}025{,}0\\ \mathrm{J}
\Delta U_{3\to4}\approx -5{,}025{,}0\\ \mathrm{J}
\Delta H_{3\to4}\approx -7{,}034{,}9\\ \mathrm{J}
Etapa 4 (isotérmica 4\to1, P:0{,}5\\ \mathrm{atm}\to1\\ \mathrm{atm}, T_{1}=298{,}15\\ \mathrm{K}):
Q_{4\to1}\approx -1{,}716{,}7\\ \mathrm{J}
W_{4\to1}\approx -1{,}716{,}7\\ \mathrm{J}
\Delta U_{4\to1}=0\\ \mathrm{J}
\Delta H_{4\to1}=0\\ \mathrm{J}
Ciclo completo:
Q_{\text{ciclo}}\approx +1{,}392{,}6\\ \mathrm{J}
W_{\text{ciclo}}\approx +1{,}392{,}6\\ \mathrm{J}
\Delta U_{\text{ciclo}}=0\\ \mathrm{J}
\Delta H_{\text{ciclo}}=0\\ \mathrm{J}

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