Questão 1 - (1,5 Pontos) Um sistema termodinâmico fechado contém uma substância pura inicialmente em equilíbrio, composta por duas fases (líquido + vapor). O sistema é então dividido em duas partes de volumes iguais, mantendose as mesmas condições externas. Considere as propriedades: massa (m), volume (V), temperatura (T) e volume específico ( \vartheta ).
a) (0,25 Pontos) Classifique cada propriedade como intensiva ou extensiva, justificando conceitualmente
b) (0,25 Pontos) Após a divisão do sistema: Indique o comportamento de cada propriedade em cada uma das partes e explique se os valores permanecem necessariamente iguais entre as duas partes.
c) (0,5 Pontos) Um estudante afirma: “Como o sistema foi dividido igualmente, todas as propriedades em cada parte serão iguais à metade do valor original.” Essa afirmação está correta? Justifique considerando a presença de duas fases
d) (0,5 Pontos) Discuta se o volume específico (v) necessariamente permanece constante em cada uma das partes após a divisão.

Passo 1

O enunciado dá um sistema fechado com uma substância pura em equilíbrio nas duas fases líquido + vapor. O sistema inicial tem massa total m, volume total V, temperatura T e volume específico (médio) \vartheta (vou usar \vartheta como no enunciado). Em seguida o sistema é dividido em duas partes de volumes iguais, mantendo as mesmas condições externas. As perguntas são:
  • (a) classificar cada propriedade ( m,\;V,\;T,\;\vartheta) como intensiva ou extensiva, com justificativa conceitual;
  • (b) após a divisão, indicar o comportamento de cada propriedade em cada parte e explicar se os valores permanecem necessariamente iguais entre as duas partes;
  • (c) avaliar a afirmação do estudante: “Como o sistema foi dividido igualmente, todas as propriedades em cada parte serão iguais à metade do valor original.” Está correta? justificar considerando as duas fases;
  • (d) discutir se o volume específico \vartheta necessariamente permanece constante em cada uma das partes após a divisão.
Informações relevantes que temos: sistema fechado (massa total fixa), coexistência líquido–vapor em equilíbrio (portanto há propriedades de fase saturada a uma dada T e p), divisão em duas partes com volumes iguais ( V_1=V_2=V/2) e mesmas condições externas.

Passo 2

Conceitos fundamentais (aula rápida e didática sobre intensivo vs extensivo).
  • Definição prática:
    • Uma propriedade é extensiva se depende da quantidade de matéria do sistema e é aditiva: o valor total de um sistema é soma dos valores de subsistemas não sobrepostos. Exemplos clássicos: massa e volume. Matematicamente, se duplico o sistema, uma propriedade extensiva dobra.
    • Uma propriedade é intensiva se NÃO depende da quantidade de matéria; é a mesma para sistemas homólogos em equilíbrio (por exemplo, temperatura, pressão, densidade de uma fase pura). Intensiva não é aditiva.
  • Fórmulas e relações:
    • Volume específico médio \vartheta é definido por \vartheta=\frac{V}{m}.Como é razão entre duas extensivas, \vartheta tende a ser uma propriedade intensiva (quando bem definida para o ponto ou para a mistura).
  • Classificação pedida:
    • Massa m: extensiva (depende da quantidade de matéria; se tenho dois subsistemas não sobrepostos com massas m_1 e m_2, m=m_1+m_2).
    • Volume V: extensiva (aditiva; V=V_1+V_2).
    • Temperatura T: intensiva (não escala com tamanho; dois subsistemas em equilíbrio térmico têm a mesma T).
    • Volume específico \vartheta: típico como intensivo (é uma razão V/m); porém atenção — em um sistema heterogêneo (duas fases) o valor médio depende da composição (fração mássica das fases). Vou tratar isso com detalhes adiante.

Passo 3

Comportamento de cada propriedade após dividir em duas partes de volumes iguais (resposta a b), passo a passo e com justificativas).
  • Volume V:
    • Por construção da divisão: V_1=V_2=\dfrac{V}{2}. Logo cada parte tem exatamente metade do volume total.
    • Conclusão: os valores de volume nas duas partes são necessariamente iguais e iguais a V/2.
  • Massa m:
    • Massa é extensiva e aditiva: m=m_1+m_2. MAS dividir o sistema em duas porções de volumes iguais não garante que as massas fiquem iguais.
    • Se a substância for homogênea (uma única fase com densidade uniforme \rho), então dividir volume ao meio dá massa ao meio: m_1=m_2=m/2 porque \rho é a mesma em todo o volume. Porém no caso duas fases (líquido + vapor) as densidades das fases são muito diferentes; a distribuição espacial das fases importa.
    • Exemplo qualitativo: se o vapor ocupa a maior parte do volume (baixa massa por volume) e a metade do volume recair predominantemente sobre a região de vapor, essa metade conterá pouca massa comparada à outra metade (que pode conter mais líquido denso). Portanto, em geral m_1 não precisa ser m/2.
  • Temperatura T:
    • Temperatura é intensiva. Se o sistema inicial estava em equilíbrio térmico e as mesmas condições externas são mantidas (por exemplo, contato térmico com o mesmo reservatório), cada parte permanece à mesma temperatura T.
    • Em coexistência líquido–vapor de uma substância pura, a temperatura de saturação é a mesma para as duas fases naquele equilíbrio; assim as duas partes, se mantidas nas mesmas condições de pressão/temperatura, terão a mesma T.
    • Conclusão: T_1=T_2=T (necessariamente iguais) desde que não se crie isolamento térmico que permita diferenças temporárias.
  • Volume específico \vartheta:
    • Para cada parte define-se \vartheta_i=\dfrac{V_i}{m_i}.
    • Como V_i está fixo ( V/2) mas m_i pode variar (ver massa), \vartheta_i pode diferir entre as partes. Se m_1\neq m_2, então \vartheta_1\neq\vartheta_2.
    • Portanto os valores de \vartheta nas duas partes não são necessariamente iguais após a divisão.

Passo 4

Explicação física usando a formulação para mistura líquido–vapor (ferramenta útil para prova).
  • Para uma mistura em equilíbrio em uma dada temperatura/pressão saturada existe:
    • v_f: volume específico do líquido saturado (intensivo: função de T ou p);
    • v_g: volume específico do vapor saturado (intensivo).
  • Se a mistura tiver qualidade (fração mássica de vapor) x (variando entre 0 e 1), o volume específico médio da mistura é \vartheta = x\,v_g + (1-x)\,v_f.Aqui x=\dfrac{m_{\text{vap}}}{m}, m_{\text{vap}} sendo a massa de vapor.
  • Consequência importante: para um dado T (logo v_f e v_g fixos), o valor médio \vartheta depende de x. Se ao dividir o sistema o valor de x em cada parte muda, então o valor local de \vartheta muda.
  • Isto explica por que \vartheta pode variar entre as partes: dividir volume igualmente não garante dividir massa de vapor e massa de líquido igualmente.

Passo 5

Contraexemplo numérico (para responder c) e tornar o raciocínio concreto — faça parecido na prova).
  • Escolha números típicos (apenas para ilustrar):
    • Tome v_f=0{,}001\\ \text{m}^3\!/\text{kg} (líquido denso) e v_g=1{,}0\\ \text{m}^3\!/\text{kg} (vapor claro).
    • Suponha massa total m=1{,}0\\ \text{kg} e qualidade x=0{,}1 (10% em massa vapor, 90% líquido). Então m_{\text{vap}}=0{,}1\\ \text{kg},\qquad m_{\text{liq}}=0{,}9\\ \text{kg}.
    • Volumes das fases: V_{\text{vap}}=m_{\text{vap}}\,v_g=0{,}1\times1{,}0=0{,}1\\ \text{m}^3,
V_{\text{liq}}=m_{\text{liq}}\,v_f=0{,}9\times0{,}001=0{,}0009\\ \text{m}^3.
  • Volume total V=V_{\text{vap}}+V_{\text{liq}}=0{,}1009\\ \text{m}^3. Metade do volume vale V/2\approx0{,}05045\\ \text{m}^3.
  • Agora imagine cortar o recipiente horizontalmente em duas partes de mesmo volume. Como o vapor ocupa 0{,}1\\ \text{m}^3 (maior que V/2), é possível que uma das metades contenha somente vapor (volume 0{,}05045\\ \text{m}^3) enquanto a outra metade contém o restante do vapor mais praticamente todo o líquido.
    • Massa na metade que ficou só com vapor: m_1=\frac{V_1}{v_g}=\frac{0{,}05045}{1{,}0}=0{,}05045\\ \text{kg},que é MUITO menor que m/2=0{,}5\\ \text{kg}.
    • Massa na outra metade m_2=m-m_1\approx0{,}94955\\ \text{kg}.
  • Conclusão óbvia a partir do exemplo: apesar de volumes iguais, massas NÃO são iguais nem metade da original. Assim a afirmação do estudante (tudo vira metade) é falsa em geral quando há coexistência de fases com densidades muito diferentes.

Passo 6

Resposta direta à (c) e discussão final sobre (d) com critério prático para a prova.
  • (c) A afirmação do estudante está incorreta em geral. Justificativa curta: dividir o volume pela metade não implica dividir a massa pela metade quando há fases de densidades diferentes e distribuição espacial das fases. O exemplo numérico acima mostra explicitamente que uma metade pode ficar com muito menos massa (se tiver mais vapor) e a outra metade com muito mais massa (se tiver mais líquido). Só daria certo m_1=m_2=m/2 se a divisão também repartisse as fases de modo que a razão massa/volume fosse a mesma em cada parte (ou seja, se a mistura fosse homogênea ou se a divisão mantivesse a mesma qualidade em cada porção).
  • (d) Sobre o volume específico \vartheta nas partes:
    • Em geral \vartheta_i=\dfrac{V_i}{m_i} não permanece necessariamente igual entre as partes após a divisão. Ele permanece igual somente se cada parte tiver a mesma composição macroscópica (mesma qualidade x) — ou seja, se a divisão repartiu líquido e vapor de forma proporcional à massa, de modo que cada porção tem o mesmo x. Se uma porção tem mais vapor relativo, seu \vartheta será maior; se tem mais líquido, \vartheta será menor.
    • Regra prática para a prova: para decidir se \vartheta se mantém igual, cheque se a divisão preserva a fração mássica de vapor x em cada parte. Se sim, \vartheta igual; se não, \vartheta diferente.

Resposta

a) m e V: extensivas. T e \vartheta: intensivas (com a observação de que \vartheta, sendo V/m, depende da composição na mistura).
b) V_1=V_2=V/2 necessariamente iguais. T_1=T_2=T (intensiva, permanece igual sob mesmas condições). m_1 e m_2 não precisam ser m/2 (massa é extensiva, mas dividir o volume não garante dividir a massa igualmente se houver fases com densidades diferentes). \vartheta_i=V_i/m_i não é necessariamente igual entre as partes (depende de m_i).
c) Não; a afirmação é falsa em geral. Em presença de líquido e vapor (densidades muito diferentes) dividir o volume pela metade não garante que todas as propriedades fiquem pela metade — a massa pode ficar muito desigual entre as partes.
d) O volume específico \vartheta não necessariamente permanece constante em cada parte. Permanece o mesmo apenas se cada parte tiver a mesma composição macroscópica (mesma qualidade x); caso contrário \vartheta_1\neq\vartheta_2.

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