Questão 2 (2,5 pontos) - Suponha que duas esferas metálicas idênticas tenham cargas
e
e que elas estejam separadas por uma distância
.
a) Qual a força em módulo entre elas?
b) Se as cargas forem postas em contato, qual será o novo valor da força entre elas se forem separadas novamente a uma distância d.
c) Faça uma análise crítica dos resultados obtidos nas alternativas “a” e “b”.
a) Qual a força em módulo entre elas?
b) Se as cargas forem postas em contato, qual será o novo valor da força entre elas se forem separadas novamente a uma distância d.
c) Faça uma análise crítica dos resultados obtidos nas alternativas “a” e “b”.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar TUDO com clareza):
- Duas esferas metálicas idênticas (mesmo raio, portanto se tocarem as cargas se redistribuem igualmente).
- As cargas iniciais são
e . - As esferas estão separadas por uma distância
. - Perguntas:
(a) Qual a força em módulo entre elas (quando estão come separadas por )?
(b) As cargas são postas em contato (as esferas tocam), depois são separadas novamente por. Qual será o novo valor da força entre elas?
(c) Fazer uma análise crítica dos resultados obtidos em (a) e (b).
Informações relevantes dadas: as cargas iniciais e a separação
, e que as esferas são metálicas e idênticas (isso é crucial para como se distribui a carga após contato).
Passo 2
Conceito que vamos usar: Lei de Coulomb (a base do cálculo da força elétrica entre duas cargas puntiformes).
Explicando didaticamente a lei de Coulomb:
- Para duas cargas pontuais (ou esferas pequenas/longes entre si)
e separadas por distância , a magnitude da força eletrostática é dada por
- Aqui
é a constante eletrostática (constante de Coulomb), que pode ser escrita como onde é a constante de permissividade do vácuo. Em muitas contas basta deixar simbólico. - O sinal do produto
determina se a força é atrativa (produto negativo) ou repulsiva (produto positivo), mas a fórmula acima dá só a magnitude (valor absoluto).
Vou aplicar isso ao caso do item (a).
Passo 3
Cálculo do item (a) — força inicial entre
e
separadas por
.
- Identificando
e , e . - Aplicando Coulomb:
- Simplificando o produto:
- Interpretação física rápida: se
e tiverem o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas), a força é repulsiva; se tiverem sinais opostos, é atraente. Aqui pediram “módulo”, então a resposta acima é suficiente.
Passo 4
O que acontece quando as duas esferas metálicas idênticas são postas em contato? (conceito necessário para o item (b))
Explicando didaticamente:
- Condutores metálicos em contato elétrico permitem que cargas se movam livremente até o equilíbrio eletrostático.
- Para duas esferas idênticas (mesmo raio), o equilíbrio distribui a carga total igualmente entre as duas. Isso ocorre porque, em equilíbrio, o potencial elétrico na superfície de cada condutor em contato deve ser o mesmo; esferas idênticas com mesma potencial têm a mesma carga.
- Conservação de carga: a carga total antes do contato continua sendo a carga total depois do contato (não há criação ou destruição de carga ao simplesmente tocar condutores), portanto
- Como as esferas são idênticas, cada uma fica com metade dessa carga total:
Passo 5
Cálculo do item (b) — força após contato e separação novamente por
.
- Depois do contato cada esfera tem
. - Novamente usamos a Lei de Coulomb com
e :
- Calculando o quadrado:
- Podemos também comparar com a força inicial
. O quociente é
Ou seja, a força aumentou em um fator
(aprox.
).
Passo 6
Análise crítica (item (c)) — interpretando e discutindo os resultados de (a) e (b). Vou explicar cada ponto com calma e sem pular etapas.
- Por que a força aumentou depois do contato?
- Antes do contato o produto das cargas era
. - Depois do contato, o produto das cargas é
. - Como a força depende do produto
, um produto maior gera maior força (para mesma distância). A redistribuição igualitária aumentou o produto das cargas entre os dois corpos no caso em que as cargas tinham o mesmo sinal, por isso a força aumentou.
- Conservação de carga e não conservação de energia:
- A carga total
foi conservada ao tocar (nenhuma carga sumiu). - Entretanto, a energia eletrostática do sistema NÃO é necessariamente conservada durante o contato: quando as esferas tocam cargas se movem e correntes podem ocorrer dentro dos condutores; parte da energia eletrostática pode ser dissipada como calor (efeito Joule) ou emitida como ondas eletromagnéticas. Portanto não é surpreendente que a energia armazenada entre as esferas mude — mas a carga total permanece a mesma.
- Exemplo numérico rápido de energia (só para intuição): a energia eletrostática entre duas cargas puntiformes é proporcional a
. Como o produto aumentou, a energia associada ao par separado por também aumentaria; esse aumento só pode vir da energia dissipada/transferida no processo de toque (ou do trabalho realizado por forças externas). Logo não há contradição física.
- Dependência do sinal das cargas:
- No raciocínio acima foi assumido implicitamente que
e têm o mesmo sinal (ambas positivas, por exemplo). Se tivessem sinais opostos, o resultado muda qualitativamente: - Exemplo: se
e , o total é e após contato cada esfera fica com . Então, depois do contato ambas teriam carga negativa igual, e a força entre elas seria repulsiva (antes era atrativa). Pode ocorrer até anulação parcial do campo local dependendo dos sinais e magnitudes; por isso é importante notar o sinal ao interpretar atração/repulsão.
- Exemplo: se
- Portanto sempre verificar o sinal das cargas antes de interpretar direção da força.
- Intuição física e verificação:
- À primeira vista pode parecer estranho que dividir as cargas igualmente aumente a força, mas é consequência direta da dependência da força no produto
. Para dois números fixos cuja soma é constante, o produto é maximizado quando os números são iguais. Aqui a soma das cargas é fixa ( ), e o produto é maior quando do que quando são e . Isso explica matematicamente o aumento observado. - Observação prática: em experimentos reais haveria efeitos geométricos (se as esferas não forem muito menores que
ou se tocarem com certa configuração) e perdas, mas o raciocínio qualitativo vale.
Passo 7
Resumo final e nota de incentivo:
- Recapitulando os resultados numéricos obtidos e a interpretação: a força aumenta após o contato quando as cargas iniciais têm o mesmo sinal, porque a redistribuição igualitária maximiza o produto das cargas dado o total fixo. Isso não viola conservação de carga nem de energia (energia pode ser dissipada durante o contato).
Resposta
(a)
(b)
(c) A carga total
é conservada; as esferas idênticas ficam com
cada uma após contato, o que aumenta o produto de cargas e portanto a força (razão
). A energia eletrostática do par pode mudar (parte pode ser dissipada como calor durante o contato), por isso não há contradição física. Se os sinais das cargas fossem opostos, direção (atração/repulsão) poderia mudar e o resultado qualitativo difere.