Questão 2 (2,5 pontos) - Suponha que duas esferas metálicas idênticas tenham cargas Q e 4 Q e que elas estejam separadas por uma distância d.
a) Qual a força em módulo entre elas?
b) Se as cargas forem postas em contato, qual será o novo valor da força entre elas se forem separadas novamente a uma distância d.
c) Faça uma análise crítica dos resultados obtidos nas alternativas “a” e “b”.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar TUDO com clareza):
  • Duas esferas metálicas idênticas (mesmo raio, portanto se tocarem as cargas se redistribuem igualmente).
  • As cargas iniciais são \;Q\; e \;4Q\;.
  • As esferas estão separadas por uma distância \;d\;.
  • Perguntas:
    (a) Qual a força em módulo entre elas (quando estão com \;Q\; e \;4Q\; separadas por \;d\;)?
    (b) As cargas são postas em contato (as esferas tocam), depois são separadas novamente por \;d\;. Qual será o novo valor da força entre elas?
    (c) Fazer uma análise crítica dos resultados obtidos em (a) e (b).
Informações relevantes dadas: as cargas iniciais e a separação \;d\;, e que as esferas são metálicas e idênticas (isso é crucial para como se distribui a carga após contato).

Passo 2

Conceito que vamos usar: Lei de Coulomb (a base do cálculo da força elétrica entre duas cargas puntiformes).
Explicando didaticamente a lei de Coulomb:
  • Para duas cargas pontuais (ou esferas pequenas/longes entre si) \;q_1\; e \;q_2\; separadas por distância \;r\;, a magnitude da força eletrostática é dada por
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2}.
  • Aqui \;k\; é a constante eletrostática (constante de Coulomb), que pode ser escrita como \;k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\; onde \;\varepsilon_0\; é a constante de permissividade do vácuo. Em muitas contas basta deixar k simbólico.
  • O sinal do produto q_1 q_2 determina se a força é atrativa (produto negativo) ou repulsiva (produto positivo), mas a fórmula acima dá só a magnitude (valor absoluto).
Vou aplicar isso ao caso do item (a).

Passo 3

Cálculo do item (a) — força inicial entre \;Q\; e \;4Q\; separadas por \;d\;.
  • Identificando q_1=\;Q\; e q_2=\;4Q\;, e r=d.
  • Aplicando Coulomb:
F = k\,\frac{|Q\cdot 4Q|}{d^2}.
  • Simplificando o produto:
F = k\,\frac{4Q^2}{d^2}.
  • Interpretação física rápida: se \;Q\; e \;4Q\; tiverem o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas), a força é repulsiva; se tiverem sinais opostos, é atraente. Aqui pediram “módulo”, então a resposta acima é suficiente.

Passo 4

O que acontece quando as duas esferas metálicas idênticas são postas em contato? (conceito necessário para o item (b))
Explicando didaticamente:
  • Condutores metálicos em contato elétrico permitem que cargas se movam livremente até o equilíbrio eletrostático.
  • Para duas esferas idênticas (mesmo raio), o equilíbrio distribui a carga total igualmente entre as duas. Isso ocorre porque, em equilíbrio, o potencial elétrico na superfície de cada condutor em contato deve ser o mesmo; esferas idênticas com mesma potencial têm a mesma carga.
  • Conservação de carga: a carga total antes do contato continua sendo a carga total depois do contato (não há criação ou destruição de carga ao simplesmente tocar condutores), portanto
Q_{\text{total}} = Q + 4Q = 5Q.
  • Como as esferas são idênticas, cada uma fica com metade dessa carga total:
q_{\text{após}} = \frac{5Q}{2}.ó

Passo 5

Cálculo do item (b) — força após contato e separação novamente por \;d\;.
  • Depois do contato cada esfera tem \;q_{\text{após}}=\dfrac{5Q}{2}\;ó.
  • Novamente usamos a Lei de Coulomb com q_1=q_2=\dfrac{5Q}{2} e r=d:
F' = k\,\frac{\left(\dfrac{5Q}{2}\right)\left(\dfrac{5Q}{2}\right)}{d^2}.
  • Calculando o quadrado:
F' = k\,\frac{25 Q^2}{4 d^2}.
  • Podemos também comparar com a força inicial \;F = k\dfrac{4Q^2}{d^2}\;. O quociente é
\frac{F'}{F} = \frac{\dfrac{25}{4}Q^2}{4 Q^2} = \frac{25}{16} = 1{,}5625.
Ou seja, a força aumentou em um fator \dfrac{25}{16} (aprox. 1{,}56).

Passo 6

Análise crítica (item (c)) — interpretando e discutindo os resultados de (a) e (b). Vou explicar cada ponto com calma e sem pular etapas.
  1. Por que a força aumentou depois do contato?
  • Antes do contato o produto das cargas era \;Q\cdot 4Q = 4Q^2.
  • Depois do contato, o produto das cargas é \;\left(\dfrac{5Q}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4}Q^2 = 6{,}25 Q^2.
  • Como a força depende do produto q_1 q_2, um produto maior gera maior força (para mesma distância). A redistribuição igualitária aumentou o produto das cargas entre os dois corpos no caso em que as cargas tinham o mesmo sinal, por isso a força aumentou.
  1. Conservação de carga e não conservação de energia:
  • A carga total \;5Q\; foi conservada ao tocar (nenhuma carga sumiu).
  • Entretanto, a energia eletrostática do sistema NÃO é necessariamente conservada durante o contato: quando as esferas tocam cargas se movem e correntes podem ocorrer dentro dos condutores; parte da energia eletrostática pode ser dissipada como calor (efeito Joule) ou emitida como ondas eletromagnéticas. Portanto não é surpreendente que a energia armazenada entre as esferas mude — mas a carga total permanece a mesma.
  • Exemplo numérico rápido de energia (só para intuição): a energia eletrostática entre duas cargas puntiformes é proporcional a \dfrac{q_1 q_2}{d}. Como o produto q_1 q_2 aumentou, a energia associada ao par separado por \;d\; também aumentaria; esse aumento só pode vir da energia dissipada/transferida no processo de toque (ou do trabalho realizado por forças externas). Logo não há contradição física.
  1. Dependência do sinal das cargas:
  • No raciocínio acima foi assumido implicitamente que \;Q\; e \;4Q\; têm o mesmo sinal (ambas positivas, por exemplo). Se tivessem sinais opostos, o resultado muda qualitativamente:
    • Exemplo: se q_1=Q e q_2=-4Q, o total é -3Q e após contato cada esfera fica com -3Q/2. Então, depois do contato ambas teriam carga negativa igual, e a força entre elas seria repulsiva (antes era atrativa). Pode ocorrer até anulação parcial do campo local dependendo dos sinais e magnitudes; por isso é importante notar o sinal ao interpretar atração/repulsão.
  • Portanto sempre verificar o sinal das cargas antes de interpretar direção da força.
  1. Intuição física e verificação:
  • À primeira vista pode parecer estranho que dividir as cargas igualmente aumente a força, mas é consequência direta da dependência da força no produto q_1 q_2. Para dois números fixos cuja soma é constante, o produto é maximizado quando os números são iguais. Aqui a soma das cargas é fixa ( 5Q), e o produto q_1 q_2 é maior quando q_1=q_2=5Q/2 do que quando são Q e 4Q. Isso explica matematicamente o aumento observado.
  • Observação prática: em experimentos reais haveria efeitos geométricos (se as esferas não forem muito menores que \;d\; ou se tocarem com certa configuração) e perdas, mas o raciocínio qualitativo vale.

Passo 7

Resumo final e nota de incentivo:
  • Recapitulando os resultados numéricos obtidos e a interpretação: a força aumenta após o contato quando as cargas iniciais têm o mesmo sinal, porque a redistribuição igualitária maximiza o produto das cargas dado o total fixo. Isso não viola conservação de carga nem de energia (energia pode ser dissipada durante o contato).

Resposta

(a) F = k\,\dfrac{4Q^{2}}{d^{2}}
(b) F' = k\,\dfrac{25Q^{2}}{4d^{2}}
(c) A carga total \;5Q\; é conservada; as esferas idênticas ficam com \;5Q/2 cada uma após contato, o que aumenta o produto de cargas e portanto a força (razão \;F'/F=25/16>1). A energia eletrostática do par pode mudar (parte pode ser dissipada como calor durante o contato), por isso não há contradição física. Se os sinais das cargas fossem opostos, direção (atração/repulsão) poderia mudar e o resultado qualitativo difere.

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