Questão 9) Uma turbina a gás simples ideal utiliza ar como fluido de trabalho e tem uma razão de pressão igual a 15. O ar entra no compressor a 20^{\circ} \mathrm{C}, e na turbina, a 1000^{\circ} \mathrm{C}. Considerando a variação do calor específico do ar com a temperatura, determine (a) a temperatura do ar na saída do compressor, (b) a razão de consumo de trabalho e (c) a eficiência térmica. Dados:
\begin{aligned} & C p_{a r}=1,05-0,000365 \mathrm{~T}+8,5 \cdot 10^{-7} \mathrm{~T}^{2}-3,9 \cdot 10^{-10} \mathrm{~T}^{3}\left[\frac{\mathrm{~kJ}}{\mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~K}}\right] \\\ & R_{a r}=286\left[\frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~K}}\right] ; \quad k_{a r}=\frac{C p_{a r}}{C v_{a r}} \quad ; \quad C v_{a r}=C p_{a r}-R_{a r} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de Brayton simples ideal com ar de razão de pressão \displaystyle r_p=\frac{p_2}{p_1}=15. A entrada do compressor está em \displaystyle T_1=20^\circ\!C=293\;K e a entrada da turbina em \displaystyle T_3=1000^\circ\!C=1273\;K. O calor específico do ar varia com a temperatura segundo
c_p(T)=1{,}05-0{,}000365\,T+8{,}5\times10^{-7}T^2-3{,}9\times10^{-10}T^3 \quad\bigl[\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\bigr],
e R=0{,}286\;\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Vamos usar as relações de processo isentrópico com variação de c_p e depois calcular as integrais de entalpia para obter trabalhos e eficiência.

Passo 2

Determinar \displaystyle T_2 (saída do compressor) pela condição isentrópica
\Delta s=\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,dT \;=\; R\ln r_p.
Como
\frac{c_p(T)}{T} =\frac{1{,}05}{T}-0{,}000365+8{,}5\times10^{-7}\,T-3{,}9\times10^{-10}\,T^2,
integramos termo a termo e igualamos a R\ln15. Resolvendo numericamente por tentativas, obtemos
T_2\approx626\;K.

Passo 3

Determinar \displaystyle T_4 (saída da turbina) análogo, impondo
\int_{T_4}^{T_3}\frac{c_p(T)}{T}\,dT \;=\; R\ln r_p.
Fazendo a mesma expansão em polinômios e iterando numericamente, resulta
T_4\approx638\;K.

Passo 4

Calcular o trabalho do compressor
W_c =\int_{T_1}^{T_2}c_p(T)\,dT =a_0\,(T_2-T_1) +a_1\frac{T_2^2-T_1^2}{2} +a_2\frac{T_2^3-T_1^3}{3} +a_3\frac{T_2^4-T_1^4}{4},
onde a_0=1{,}05, a_1=-0{,}000365, a_2=8{,}5\times10^{-7}, a_3=-3{,}9\times10^{-10}. Substituindo T_1=293\;K e T_2=626\;K
W_c\approx342{,}4\;\mathrm{kJ/kg}.
O trabalho da turbina
W_t =\int_{T_4}^{T_3}c_p(T)\,dT
calculado de modo análogo com T_3=1273\;K e T_4=638\;K resulta
W_t\approx716{,}6\;\mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

A razão de consumo de trabalho, isto é
\frac{W_c}{W_t} =\frac{342{,}4}{716{,}6} \approx0{,}478.

Passo 6

A eficiência térmica é
\eta =\frac{W_t - W_c}{Q_{\rm in}} \quad\text{com}\quad Q_{\rm in} =\int_{T_2}^{T_3}c_p(T)\,dT \approx728{,}5\;\mathrm{kJ/kg}.
Logo
\eta =\frac{716{,}6-342{,}4}{728{,}5} \approx0{,}514 \quad\Longrightarrow\quad 51{,}4\%.

Resposta

(a) \displaystyle T_2\approx626\;K.
(b) \displaystyle W_c/W_t\approx0{,}478.
(c) \displaystyle \eta\approx51{,}4\%.

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