Um quilograma de ar é aquecido reversivelmente, a pressão constante, de um estado inicial de 300 Ke 1 bar até que o seu volume triplique. Calcule W, Q, \Delta U e \Delta H para o processo. Admita que o ar obedeça à relação P V / T=83,14 \mathrm{bar} \mathrm{cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} e que C_{P}=29 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}.

Passo 1

O enunciado descreve o aquecimento reversível de 1\,\text{kg} de ar a pressão constante p=1\,\text{bar}, desde T_{1}=300\,\text{K} até que o volume triplique V_{2}=3V_{1}. O ar é ideal, obedecendo
pV = nR\,T,
com R=83{,}14, \mathrm{bar\,cm^{3}\,mol^{-1}\,K^{-1}} (equivalente a 8{,}314, \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}), e tem C_{p}=29, \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Precisamos calcular trabalho W, calor Q, variação de energia interna \Delta U e variação de entalpia \Delta H.

Passo 2

Primeiro determinamos o número de mols n e a variação de temperatura \Delta T. Admitimos massa molar do ar M=28{,}97, \mathrm{g\,mol^{-1}}, então
n = \frac{1\,\text{kg}}{28{,}97\,\mathrm{g\,mol^{-1}}} = \frac{1000\,\mathrm{g}}{28{,}97\,\mathrm{g\,mol^{-1}}} \approx 34{,}5\\ \mathrm{mol}.
Como a pressão é constante e V\propto T, segue
\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}} = 3 \quad\Longrightarrow\quad T_{2}=3\,T_{1}=900\,\text{K},
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\Delta T = T_{2}-T_{1} = 900 - 300 = 600\,\text{K}.

Passo 3

O trabalho de fronteiras em pressão constante é
W = \int p\,\mathrm{d}V = p\,(V_{2}-V_{1})
e, usando pV=nRT, obten­mos
W = nR\,(T_{2}-T_{1}) = nR\,\Delta T.
Substituindo valores:
W = 34{,}5 \times 8{,}314\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\,K}} \times 600\,\mathrm{K} \approx 1{,}72\times10^{5}\,\mathrm{J} =172\,\mathrm{kJ}.

Passo 4

A variação de entalpia do gás ideal é
\Delta H = n\,C_{p}\,\Delta T.
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\Delta H = 34{,}5 \times 29\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\,K}} \times 600\,\mathrm{K} \approx 6{,}00\times10^{5}\,\mathrm{J} =600\,\mathrm{kJ}.
Em processo a pressão constante sem outros trabalhos além de p\,\mathrm{d}V, o calor trocado é Q=\Delta H, ou seja,
Q = 600\,\mathrm{kJ}.

Passo 5

Para o gás ideal vale \Delta U = \Delta H - W. Assim,
\Delta U = 600\,\mathrm{kJ} - 172\,\mathrm{kJ} =428\,\mathrm{kJ}.
Alternativamente, poderíamos usar \Delta U = n\,C_{v}\,\Delta T com C_{v}=C_{p}-R, obtendo o mesmo valor.

Resposta

W = 172\,\mathrm{kJ} Q = 600\,\mathrm{kJ} \Delta U = 428\,\mathrm{kJ} \Delta H = 600\,\mathrm{kJ}

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