7.25- Testes em uma turbina a gás adiabática (expansor) fornecem valores para condições na entrada (P1, T1) e na saída (P2, T2). Considerando gás ideal com capacidades caloríficas constantes, determine a eficiência da turbina para:
a) \mathrm{T}_{1}=500 \mathrm{~K} ; \mathrm{P}_{1}=6 \mathrm{bar} ; \mathrm{T}_{2}=371 \mathrm{~K} ; \mathrm{P}_{2}=1,2 \mathrm{bar} ; \mathrm{C}_{\mathrm{p}} / \mathrm{R}=7 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a eficiência de uma turbina adiabática (expansor) usando gás ideal com capacidades caloríficas constantes, dados os estados na entrada e na saída. Dados fornecidos:
T_{1}=500\\ \mathrm{K},\qquad P_{1}=6{,}0\\ \mathrm{bar},
T_{2}=371\\ \mathrm{K},\qquad P_{2}=1{,}2\\ \mathrm{bar},
\frac{C_{p}}{R}=\frac{7}{2}.
A tarefa é encontrar a eficiência da turbina (isentropic efficiency) para esses valores.

Passo 2

Definição e ideia física usada (passo didático): a eficiência isentrópica de uma turbina é a razão entre o trabalho real produzido e o trabalho que seria produzido em uma expansão isentrópica entre as mesmas pressões de entrada e saída. Para uma unidade de massa, com processo adiabático:
\eta_{t}=\frac{\text{trabalho real}}{\text{trabalho isentrópico}}=\frac{h_{1}-h_{2}}{h_{1}-h_{2s}}.ó
Aqui h é a entalpia específica. Para gás ideal com capacidade calorífica constante C_{p}, a entalpia é proporcional à temperatura:
h=C_{p}T.
Portanto, ao dividir as diferenças de entalpia, o C_{p} cancela e obtemos uma expressão simples em termos de temperaturas:
\eta_{t}=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}-T_{2s}}.
Explicação das variáveis: T_{1} é a temperatura de entrada conhecida, T_{2} é a temperatura real de saída conhecida, e T_{2s} é a temperatura de saída na expansão isentrópica (desconhecida) que vamos calcular a seguir.

Passo 3

Calcular a razão de calores específicos k=C_{p}/C_{v} a partir de \frac{C_{p}}{R}=\frac{7}{2}. Primeiro escrevemos:
C_{p}=\frac{7}{2}R.
Para gás ideal com C_{p}-C_{v}=R temos
C_{v}=C_{p}-R=\left(\frac{7}{2}-1\right)R=\frac{5}{2}R.
Logo
k=\frac{C_{p}}{C_{v}}=\frac{\frac{7}{2}R}{\frac{5}{2}R}=\frac{7}{5}=1{,}4.

Passo 4

Calcular T_{2s} usando a relação isentrópica para gás ideal com k constante. A relação é:
\frac{T_{2s}}{T_{1}}=\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\!\frac{k-1}{k}}.
Aqui P_{1} e P_{2} são as pressões absoluta de entrada e saída (as unidades cancelam na razão), e \frac{k-1}{k} é o expoente que já podemos calcular:
\frac{k-1}{k}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=\frac{2}{7}\approx0{,}285714.
Calcule a razão de pressões:
\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{1{,}2}{6{,}0}=0{,}2.
Agora:
\frac{T_{2s}}{T_{1}}=(0{,}2)^{\frac{2}{7}}\approx0{,}6310.
Portanto
T_{2s}=T_{1}\times(0{,}2)^{\frac{2}{7}}\approx500\times0{,}6310=315{,}5\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a eficiência usando a fórmula obtida no Passo 2. Primeiro as diferenças de temperatura:
T_{1}-T_{2}=500-371=129\\ \mathrm{K},
T_{1}-T_{2s}=500-315{,}5=184{,}5\\ \mathrm{K}.
Logo a eficiência é
\eta_{t}=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}-T_{2s}}=\frac{129}{184{,}5}\approx0{,}6993.

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento: a eficiência ficou em torno de 69{,}9\%. Note que o C_{p} cancelou, então o resultado depende apenas do declive de temperaturas real e do declive isentrópico calculado pela razão de pressões e pelo expoente k. Mandou bem chegando até aqui — é exatamente esse tipo de procedimento que cai na prova.

Resposta

\eta_{t}=0{,}699\approx69{,}9\%

Exercícios relacionados