Para a reação \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4}(\mathrm{~g}) \rightleftharpoons 2 \mathrm{NO}_{2}(\mathrm{~g}), \mathrm{Kp}=0,10 a 25^{\circ} \mathrm{C}. Em um experimento, as pressões parciais iniciais são \mathrm{P} \_\mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4}=0,5 \mathrm{~atm} e \mathrm{P} \_\mathrm{NO}_{2}=0,0 \mathrm{~atm}. Calcule as pressões parciais no equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá a reação \mathrm{N_{2}O_{4}(g)} \rightleftharpoons 2\\ \mathrm{NO_{2}(g)} com K_{p}=0,10 a 25^\circ\mathrm{C}. As pressões parciais iniciais são \;P_{\mathrm{N_{2}O_{4}},0}=0,5\\ \mathrm{atm}\; e \;P_{\mathrm{NO_{2}},0}=0,0\\ \mathrm{atm}.
A pergunta é: calcular as pressões parciais no equilíbrio, ou seja, encontrar \;P_{\mathrm{N_{2}O_{4}}}^{\mathrm{eq}}\; e \;P_{\mathrm{NO_{2}}}^{\mathrm{eq}}.

Passo 2

Vamos introduzir uma variável que descreva quanto de \mathrm{N_{2}O_{4}} se dissocia até o equilíbrio. Chamo essa variável de x, com unidade de pressão (atm), onde x é a pressão parcial de \mathrm{N_{2}O_{4}} que se converte em produtos. Montamos a tabela “ICE” (Inicial — Mudança — Equilíbrio) em termos de pressões:
Inicial:
P_{\mathrm{N_{2}O_{4}}}=0,5,\qquad P_{\mathrm{NO_{2}}}=0,0
Mudança (dissociação):
P_{\mathrm{N_{2}O_{4}}}\\ \text{diminui em}\\\ -x,\qquad P_{\mathrm{NO_{2}}}\\ \text{aumenta em}\\\ +2x
(porque cada mol de \mathrm{N_{2}O_{4}} que se dissocia produz 2 mols de \mathrm{NO_{2}}).
Equilíbrio:
P_{\mathrm{N_{2}O_{4}}}^{\mathrm{eq}} = 0,5 - x,\qquad P_{\mathrm{NO_{2}}}^{\mathrm{eq}} = 0 + 2x = 2x.

Passo 3

Agora usamos a definição de K_{p} para essa reação. Para a reação \mathrm{N_{2}O_{4}} \rightleftharpoons 2\\ \mathrm{NO_{2}}, a expressão de K_{p} é:
K_{p} = \frac{\left(P_{\mathrm{NO_{2}}}\right)^{2}}{P_{\mathrm{N_{2}O_{4}}}}.
Aqui P_{\mathrm{NO_{2}}} e P_{\mathrm{N_{2}O_{4}}} são as pressões parciais no equilíbrio. Substituímos as expressões em função de x:
0,10 = \frac{(2x)^{2}}{0,5 - x}.

Passo 4

Resolvemos a equação para x. Primeiro desenvolvemos o numerador:
0,10 = \frac{4x^{2}}{0,5 - x}.
Multiplicando ambos os lados por (0,5 - x) para eliminar o denominador:
4x^{2} = 0,10(0,5 - x).
Calculamos o lado direito:
4x^{2} = 0,05 - 0,10x.
Colocamos tudo em um lado para obter uma equação quadrática padrão:
4x^{2} + 0,10x - 0,05 = 0.
Para facilitar os cálculos, multiplicamos por 100 (para evitar decimais):
400x^{2} + 10x - 5 = 0.
Dividimos por 5 para simplificar:
80x^{2} + 2x - 1 = 0.

Passo 5

Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação ax^{2}+bx+c=0 temos
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=80, b=2, c=-1. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot80\cdot(-1) = 4 + 320 = 324.
A raiz quadrada é \sqrt{\Delta} = \sqrt{324} = 18. Então
x = \frac{-2 \pm 18}{2\cdot80} = \frac{-2 \pm 18}{160}.
As duas soluções são
x_{1} = \frac{-2 + 18}{160} = \frac{16}{160} = 0,10
e
x_{2} = \frac{-2 - 18}{160} = \frac{-20}{160} = -0,125.
A solução física deve dar pressões não negativas e x não pode ser maior que 0,5 (pois P_{\mathrm{N_{2}O_{4}}}^{\mathrm{eq}} = 0,5 - x). Logo descartamos x_{2}=-0,125 porque é negativa. Assim x=0,10\\ \mathrm{atm}.

Passo 6

Com x=0,10\\ \mathrm{atm} calculamos as pressões de equilíbrio:
P_{\mathrm{N_{2}O_{4}}}^{\mathrm{eq}} = 0,5 - x = 0,5 - 0,10 = 0,4\\ \mathrm{atm},
P_{\mathrm{NO_{2}}}^{\mathrm{eq}} = 2x = 2\times 0,10 = 0,20\\ \mathrm{atm}.
Fazemos uma checagem rápida do K_{p}:
\frac{(P_{\mathrm{NO_{2}}}^{\mathrm{eq}})^{2}}{P_{\mathrm{N_{2}O_{4}}}^{\mathrm{eq}}} = \frac{(0,20)^{2}}{0,40} = \frac{0,040}{0,40} = 0,10,
que coincide com o K_{p} dado — ótimo, resultado consistente.

Resposta

P_{\mathrm{N_{2}O_{4}}}^{\mathrm{eq}}=0,40\\ \mathrm{atm}
P_{\mathrm{NO_{2}}}^{\mathrm{eq}}=0,20\\ \mathrm{atm}

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