Um refrigerador ideal ou uma bomba de calor ideal são equivalentes a uma máquina de Carnot funcionando ao contrário. Isto é, o calor Qf é absorvido de um reservatório frio e o calor Qq é rejeitado para um reservatório quente. (b) Mostre que o CDD do refrigerador ideal é C D D=Tf /(Tq-Tf).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um refrigerador ideal, que funciona como uma máquina de Carnot ao contrário. Isso significa que ele absorve um calor $ Q_f $ de um lugar frio e rejeita um calor $ Q_q $ para um lugar quente. O que a gente precisa mostrar é que o Coeficiente de Desempenho do Refrigerador (CDD) é igual a $ \frac{T_f}{T_q - T_f} $. Vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre o ciclo de Carnot, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Coeficiente de Desempenho (CDD) de um refrigerador. O CDD mede a eficiência do refrigerador em transferir calor do ambiente frio para o quente. A fórmula geral é:
CDD = QfW
Onde:
  • $ Q_f $ é o calor retirado do ambiente frio.
  • $ W $ é o trabalho realizado pelo refrigerador.

Passo 3

Como estamos lidando com uma máquina de Carnot ao contrário (um refrigerador ideal), sabemos que as relações de temperatura para uma máquina térmica de Carnot se aplicam, mas precisamos adaptar para o refrigerador. Para uma máquina de Carnot, a eficiência $ \eta $ é dada por:
eta
Onde:
  • $ T_f $ é a temperatura do reservatório frio.
  • $ T_q $ é a temperatura do reservatório quente.

Passo 4

Para o refrigerador, queremos relacionar o trabalho $ W $ com os calores $ Q_f $ e $ Q_q $. Sabemos que:
W
Isso porque o trabalho realizado pelo refrigerador serve para transferir o calor do ambiente frio para o quente.

Passo 5

Vamos expressar o trabalho $ W $ em termos de $ Q_f $ e $ Q_q $:
W
Agora, substituímos a eficiência $ \eta $ da máquina de Carnot na expressão do CDD. Sabemos que a eficiência para a máquina de Carnot é:
Qf

Passo 6

Resolvendo a equação para $ W $:
W
Agora, substituímos $ W $ na fórmula do CDD:
W = Qq (1 - TfTq)

Passo 7

Simplificamos a expressão:
CDD = QfQq - Qf cdot Tq
Mas sabemos que, para o ciclo de Carnot, a relação entre os calores é:
QfQq = TfTq
Então, substituindo na expressão do CDD:
CDD = TfTq - Tf

Resposta

O Coeficiente de Desempenho do refrigerador ideal é $ CDD = \frac{T_f}{T_q - T_f} $.

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