Dióxido de carbono a 1 MPa e 260^{\circ} \mathrm{C} entra em regime permanente e com fluxo de massa de 6000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} em um bocal adiabático, saindo a 400 kPa e 450 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A área na entrada do bocal é de 40 \mathrm{~cm}^{2}. Determine (a) a velocidade na entrada e (b) a temperatura na saída.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Fluxo de massa: \dot m = 6000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Entrada: pressão \displaystyle P_1 = 1{,}0\\ \mathrm{MPa} e temperatura \displaystyle T_1 = 260^\circ\mathrm{C}.
  • Área na entrada: \displaystyle A_1 = 40\\ \mathrm{cm^2}.
  • Saída: pressão \displaystyle P_2 = 400\\ \mathrm{kPa} e velocidade \displaystyle v_2 = 450\\ \mathrm{m/s}.
  • O bocal é adiabático e o escoamento é em regime permanente.
O enunciado pede:
(a) a velocidade na entrada \displaystyle v_1;
(b) a temperatura na saída \displaystyle T_2.
Observações numéricas úteis que usarei:
  • Converter \dot m para \mathrm{kg/s}.
  • Converter T_1 para Kelvin: \displaystyle T_1 = 260^\circ\mathrm{C}=260+273{,}15=533{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter A_1 para \mathrm{m^2}: \displaystyle A_1=40\\ \mathrm{cm^2}=0{,}004\\ \mathrm{m^2}.
  • Converter pressões para Pa quando necessário: \displaystyle P_1=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},\; P_2=4{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Transformar unidades e calcular o fluxo de massa em \mathrm{kg/s}.
  • Conversão do fluxo:
\dot m = \frac{6000\\ \mathrm{kg}}{3600\\ \mathrm{s}} = 1{,}666\overline{6}\\ \mathrm{kg/s}\approx 1{,}667\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Calcular a densidade na entrada usando a equação dos gases ideais (aqui assumo CO _2 como gás ideal para obter a densidade; depois comento sobre essa suposição).
  • Constante dos gases específica do CO _2:
R = \frac{R_u}{M}=\frac{8{,}3144621\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}}{0{,}04401\\ \mathrm{kg/mol}}\approx 188{,}94\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(A massa molar usada foi M=44{,}01\\ \mathrm{g/mol}=0{,}04401\\ \mathrm{kg/mol}.)
  • Densidade na entrada pela lei dos gases ideais:
\rho_1=\frac{P_1}{R\,T_1}=\frac{1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}}{188{,}94\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\cdot 533{,}15\\ \mathrm{K}}.
Calculemos numericamente:
\rho_1\approx 9{,}94\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

Determinar a velocidade na entrada a partir da relação de continuidade (definição do fluxo de massa em regime permanente).
A relação de continuidade é
\dot m=\rho_1\,A_1\,v_1.
Despejando v_1:
v_1=\frac{\dot m}{\rho_1\,A_1}.
Substituindo valores:
v_1=\frac{1{,}667\\ \mathrm{kg/s}}{9{,}94\\ \mathrm{kg/m^3}\cdot 0{,}004\\ \mathrm{m^2}}.
Calculando:
v_1\approx 41{,}95\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação curta: com a área pequena e densidade cerca de 9{,}94\\ \mathrm{kg/m^3}, para transportar 1{,}667\\ \mathrm{kg/s} a velocidade precisa ser \approx 42\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Usar a equação de energia para escoamento estacionário e adiabático (bocal). Aqui explico a ideia física e a fórmula:
Em regime permanente, adiabático e desprezando energia potencial, a forma simplificada da conservação de energia por unidade de massa é
h_1+\frac{v_1^2}{2}=h_2+\frac{v_2^2}{2},
onde h é a entalpia específica e v a velocidade. Esta equação diz que a soma entalpia + energia cinética se conserva (convertendo entalpia em energia cinética e vice-versa) quando não há troca de calor nem trabalho além do fluxo.
Para um gás ideal com calor específico a pressão aproximadamente constante (ou supondo c_p aproximadamente constante no intervalo de temperaturas), a entalpia específica relaciona-se com a temperatura por
h=c_p\,T,
onde c_p é o calor específico a pressão constante (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
Substituindo h=c_p T na equação de energia e isolando T_2 obtemos
c_p(T_1-T_2)=\frac{v_2^2-v_1^2}{2} \quad\Rightarrow\quad T_2=T_1-\frac{v_2^2-v_1^2}{2\,c_p}.

Passo 6

Escolher um valor para c_p do CO _2 e calcular T_2. Explicação didática sobre c_p:
  • O c_p real de CO _2 varia com a temperatura, mas para cálculos rápidos de um problema de prova costuma-se adotar um valor médio. Um valor razoável típico para CO _2 entre temperaturas próximas às do problema é
c_p\approx 0{,}844\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=844\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Esse valor está na literatura para CO _2 em torno de algumas centenas de K; usar c_p constante é uma aproximação prática. Se fosse necessário mais precisão, usar tabelas ou dados do NIST e integrar c_p(T).)
Agora aplicar a fórmula com os valores numéricos:
  • v_2=450\\ \mathrm{m/s},
  • v_1\approx 41{,}95\\ \mathrm{m/s},
  • T_1=533{,}15\\ \mathrm{K},
  • c_p=844\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Calculemos a diferença de energias cinéticas por unidade de massa:
\frac{v_2^2-v_1^2}{2}=\frac{450^2-41{,}95^2}{2}\\ \mathrm{J/kg}\approx 100\,370\\ \mathrm{J/kg}.
Então a queda de temperatura é
\Delta T=\frac{v_2^2-v_1^2}{2\,c_p}\approx\frac{100\,370}{844}\\ \mathrm{K}\approx 118{,}9\\ \mathrm{K}.
Logo a temperatura na saída é
T_2=T_1-\Delta T\approx 533{,}15-118{,}9\\ \mathrm{K}\approx 414{,}3\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius, se preferir:
T_2\approx 414{,}3\\ \mathrm{K}-273{,}15\approx 141{,}2^\circ\mathrm{C}.
Breve comentário sobre a aproximação: usar gás ideal para densidade e c_p constante é comum em exercícios. CO _2 em 1\\ \mathrm{MPa} e 533\\ \mathrm{K} ainda está na fase gasosa, mas propriedades reais fogem um pouco do ideal; para precisão industrial utilizar propriedades tabeladas/softwares. Para prova, esta aproximação é adequada salvo indicação contrária.

Resposta

(a) \displaystyle v_1 \approx 41{,}95\\ \mathrm{m/s}
(b) \displaystyle T_2 \approx 414{,}3\\ \mathrm{K}\\ \left(\approx 141{,}2^\circ\mathrm{C}\right)

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