Determine a eficiência de uma máquina térmica que opera segundo o ciclo BraytonJoule (duas adiabáticas e duas isobáricas). Esboce o ciclo no diagrama de Clapeyron.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a eficiência térmica da máquina que opera segundo o ciclo Brayton–Joule (duas adiabáticas e duas isobáricas).
  • Esboçar o ciclo no diagrama de Clapeyron (diagrama P versus V).
Informações que vamos usar (pressupostos típicos e aceitos para este exercício):
  • Trabalhamos com um gás ideal e capacidades caloríficas constantes.
  • Os processos adiabáticos são reversíveis (ou seja, isentrópicos).
  • Os estados do ciclo são numerados em sequência: 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1.
  • Notações que vou usar:
    • c_p = capacidade calorífica molar (ou por massa) a pressão constante.
    • c_v = capacidade calorífica a volume constante.
    • \gamma = \dfrac{c_p}{c_v} (razão de capacidades).
    • r_p = \dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{P_3}{P_4} = razão de pressão (pressão de saída do compressor sobre a pressão de entrada).
    • q_{in} = calor adicionado no processo 2\to3.
    • q_{out} = calor rejeitado no processo 4\to1.
    • Temperaturas nos estados: T_1,T_2,T_3,T_4.

Passo 2

Descrever o ciclo e escrever as expressões de calor trocado em cada etapa (aula rápida sobre energia térmica em processos isobáricos).
Breve explicação das etapas (para visualizar):
  • 1\to2: compressão adiabática e reversível (isentrópica) — temperatura aumenta de T_1 para T_2; pressão aumenta de P_1 para P_2.
  • 2\to3: aquecimento isobárico — pressão constante P_2; temperatura aumenta de T_2 para T_3; é aqui que entra calor q_{in}.
  • 3\to4: expansão adiabática e reversível (isentrópica) — temperatura cai de T_3 para T_4; pressão cai de P_3 para P_4 (com P_3=P_2 e P_4=P_1).
  • 4\to1: resfriamento isobárico — pressão constante P_1; temperatura cai de T_4 para T_1; é aqui que sai calor q_{out}.
Para processos isobáricos de um gás ideal, o calor trocado é dado por:
q = c_p\,(T_{final}-T_{inicial}).
Assim:
q_{in}=c_p\,(T_3-T_2), \qquad q_{out}=c_p\,(T_4-T_1).
Explicando as variáveis:
  • q_{in} é o calor que entra no ciclo no trecho 2\to3.
  • q_{out} é o calor que sai no trecho 4\to1.
  • c_p é constante (pressuposição do modelo idealizado).

Passo 3

Definir a eficiência térmica e escrever a expressão em termos dos calores.
A eficiência térmica (fração do calor de entrada convertido em trabalho líquido) é
\eta = \frac{W_{líquido}}{q_{in}} = \frac{q_{in}-q_{out}}{q_{in}} = 1 - \frac{q_{out}}{q_{in}}.í
Substituindo as expressões isobáricas do Passo 2:
\eta = 1 - \frac{c_p\,(T_4-T_1)}{c_p\,(T_3-T_2)} = 1 - \frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}.
Observação didática: os c_p cancelam — por isso a eficiência depende apenas das temperaturas dos estados no modelo com c_p constante.

Passo 4

Usar as relações isentrópicas para ligar as temperaturas e a razão de pressão (aula sobre isentrópicas para gás ideal).
Para uma transformação adiabática e reversível (isentrópica) de um gás ideal com \gamma constante vale a lei
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Usando também a equação do gás ideal P V = R T (ou suas versões por massa), pode-se mostrar a relação entre temperaturas e pressões nas transformações isentrópicas:
\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}, \qquad \frac{T_3}{T_4} = \left(\frac{P_3}{P_4}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
No ciclo Brayton temos P_2=P_3 e P_1=P_4, portanto as duas relações dão a mesma razão:
\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4} \equiv r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}, \qquad\text{onde}\qquad r_p=\frac{P_2}{P_1}.
Explicando: isto significa que o aumento de temperatura relativo na compressão isentrópica 1\to2 é o mesmo que o aumento relativo (inverso) entre 4\to3 quando se compara pares de pressões iguais.

Passo 5

Fazer a simplificação que leva à forma final da eficiência (momento “mágico” algébrico — vou explicar passo a passo).
Começamos da expressão do Passo 3:
\eta = 1 - \frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}.
Dividimos numerador e denominador por T_1 para ver uma estrutura que permita cancelar com a relação do Passo 4:
\eta = 1 - \frac{\dfrac{T_4}{T_1}-1}{\dfrac{T_3}{T_1}-\dfrac{T_2}{T_1}}.
Agora use a igualdade \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{T_3}{T_4} (do Passo 4). Colocando x=\dfrac{T_4}{T_1} e observando que \dfrac{T_3}{T_1}=\dfrac{T_3}{T_4}\cdot\dfrac{T_4}{T_1}=\dfrac{T_2}{T_1}\,x, o denominador fica
\dfrac{T_3}{T_1}-\dfrac{T_2}{T_1}=\left(\dfrac{T_2}{T_1}\,x\right)-\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{T_2}{T_1}\,(x-1).
O numerador é x-1. Assim
\frac{\dfrac{T_4}{T_1}-1}{\dfrac{T_3}{T_1}-\dfrac{T_2}{T_1}} = \frac{x-1}{\dfrac{T_2}{T_1}\,(x-1)} = \frac{1}{\dfrac{T_2}{T_1}} = \frac{T_1}{T_2}.
Portanto a eficiência simplifica para
\eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}.
Explicação em palavras: as razões isentrópicas ligam as temperaturas de modo que a diferença de temperatura do rejeito relativa à diferença do aquecimento reduz-se à razão simples T_1/T_2.

Passo 6

Expressar a eficiência em função da razão de pressão r_p (forma prática frequentement usada em engenharia).
Usando a relação isentrópica do Passo 4:
\frac{T_2}{T_1}=r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}},
substituímos em \eta=1-\dfrac{T_1}{T_2} e obtemos a forma usual:
\eta = 1 - r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}} = 1 - \frac{1}{r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}.
Significado físico e interpretação:
  • \eta aumenta quando a razão de pressão r_p aumenta (até certo ponto prático).
  • \gamma é a razão c_p/c_v do gás (por exemplo, \gamma\approx 1{,}4 para ar diatômico à temperatura ambiente).
  • Essa expressão é válida para o ciclo Brayton ideal com compressão e expansão isentrópicas e c_p constante.

Passo 7

Esboço do ciclo no diagrama de Clapeyron ( P versus V) — como desenhar na prova e o que olhar.
Instruções para esboçar (faça à mão na prova):
  • Trace eixos com V horizontal e P vertical.
  • Estado 1: ponto no canto inferior esquerdo (baixa P, baixo V).
  • 1\to2: curva adiabática para cima e para a esquerda (compressão isentrópica) — curva mais fechada que uma isotérmica; marcar seta 1\to2.
  • 2\to3: linha aproximadamente horizontal para a direita (isobárica a P_2) — calor adicionado; marcar 2\to3.
  • 3\to4: expansão adiabática: curva para baixo e para a direita (isentrópica); marcar 3\to4.
  • 4\to1: linha horizontal para a esquerda (isobárica a P_1) — calor rejeitado; fechar o ciclo e marcar setas no sentido horário (ciclo de potência típico).
Observação visual: o ciclo aparece como um “quadrilátero” com duas linhas horizontais (isobáricas) e duas curvas (adiabáticas). No ciclo de potência típico o sentido é horário: trabalho líquido positivo é a área encerrada no diagrama P- V.

Resposta

\displaystyle \eta \;=\; 1 - \frac{T_4-T_1}{T_3-T_2} \;=\; 1 - \frac{T_1}{T_2} \;=\; 1 - r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Esboço: no diagrama P V desenhar as etapas 1\to2 adiabática (compressão), 2\to3 isobárica (aquecimento), 3\to4 adiabática (expansão), 4\to1 isobárica (rejeição de calor).

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