Determine a eficiência de uma máquina térmica que opera segundo o ciclo BraytonJoule (duas adiabáticas e duas isobáricas). Esboce o ciclo no diagrama de Clapeyron.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a eficiência térmica da máquina que opera segundo o ciclo Brayton–Joule (duas adiabáticas e duas isobáricas).
- Esboçar o ciclo no diagrama de Clapeyron (diagrama
versus ).
Informações que vamos usar (pressupostos típicos e aceitos para este exercício):
- Trabalhamos com um gás ideal e capacidades caloríficas constantes.
- Os processos adiabáticos são reversíveis (ou seja, isentrópicos).
- Os estados do ciclo são numerados em sequência:
. - Notações que vou usar:
-
= capacidade calorífica molar (ou por massa) a pressão constante. -
= capacidade calorífica a volume constante. -
(razão de capacidades). -
= razão de pressão (pressão de saída do compressor sobre a pressão de entrada). -
= calor adicionado no processo . -
= calor rejeitado no processo . - Temperaturas nos estados:
.
-
Passo 2
Descrever o ciclo e escrever as expressões de calor trocado em cada etapa (aula rápida sobre energia térmica em processos isobáricos).
Breve explicação das etapas (para visualizar):
-
: compressão adiabática e reversível (isentrópica) — temperatura aumenta de para ; pressão aumenta de para . -
: aquecimento isobárico — pressão constante ; temperatura aumenta de para ; é aqui que entra calor . -
: expansão adiabática e reversível (isentrópica) — temperatura cai de para ; pressão cai de para (com e ). -
: resfriamento isobárico — pressão constante ; temperatura cai de para ; é aqui que sai calor .
Para processos isobáricos de um gás ideal, o calor trocado é dado por:
Assim:
Explicando as variáveis:
-
é o calor que entra no ciclo no trecho . -
é o calor que sai no trecho . -
é constante (pressuposição do modelo idealizado).
Passo 3
Definir a eficiência térmica e escrever a expressão em termos dos calores.
A eficiência térmica (fração do calor de entrada convertido em trabalho líquido) é
Substituindo as expressões isobáricas do Passo 2:
Observação didática: os
cancelam — por isso a eficiência depende apenas das temperaturas dos estados no modelo com
constante.
Passo 4
Usar as relações isentrópicas para ligar as temperaturas e a razão de pressão (aula sobre isentrópicas para gás ideal).
Para uma transformação adiabática e reversível (isentrópica) de um gás ideal com
constante vale a lei
Usando também a equação do gás ideal
(ou suas versões por massa), pode-se mostrar a relação entre temperaturas e pressões nas transformações isentrópicas:
No ciclo Brayton temos
e
, portanto as duas relações dão a mesma razão:
Explicando: isto significa que o aumento de temperatura relativo na compressão isentrópica
é o mesmo que o aumento relativo (inverso) entre
quando se compara pares de pressões iguais.
Passo 5
Fazer a simplificação que leva à forma final da eficiência (momento “mágico” algébrico — vou explicar passo a passo).
Começamos da expressão do Passo 3:
Dividimos numerador e denominador por
para ver uma estrutura que permita cancelar com a relação do Passo 4:
Agora use a igualdade
(do Passo 4). Colocando
e observando que
, o denominador fica
O numerador é
. Assim
Portanto a eficiência simplifica para
Explicação em palavras: as razões isentrópicas ligam as temperaturas de modo que a diferença de temperatura do rejeito relativa à diferença do aquecimento reduz-se à razão simples
.
Passo 6
Expressar a eficiência em função da razão de pressão
(forma prática frequentement usada em engenharia).
Usando a relação isentrópica do Passo 4:
substituímos em
e obtemos a forma usual:
Significado físico e interpretação:
-
aumenta quando a razão de pressão aumenta (até certo ponto prático). -
é a razão do gás (por exemplo, para ar diatômico à temperatura ambiente). - Essa expressão é válida para o ciclo Brayton ideal com compressão e expansão isentrópicas e
constante.
Passo 7
Esboço do ciclo no diagrama de Clapeyron (
versus
) — como desenhar na prova e o que olhar.
Instruções para esboçar (faça à mão na prova):
- Trace eixos com
horizontal e vertical. - Estado 1: ponto no canto inferior esquerdo (baixa
, baixo ). -
: curva adiabática para cima e para a esquerda (compressão isentrópica) — curva mais fechada que uma isotérmica; marcar seta . -
: linha aproximadamente horizontal para a direita (isobárica a ) — calor adicionado; marcar . -
: expansão adiabática: curva para baixo e para a direita (isentrópica); marcar . -
: linha horizontal para a esquerda (isobárica a ) — calor rejeitado; fechar o ciclo e marcar setas no sentido horário (ciclo de potência típico).
Observação visual: o ciclo aparece como um “quadrilátero” com duas linhas horizontais (isobáricas) e duas curvas (adiabáticas). No ciclo de potência típico o sentido é horário: trabalho líquido positivo é a área encerrada no diagrama
-
.
Resposta
Esboço: no diagrama
–
desenhar as etapas
adiabática (compressão),
isobárica (aquecimento),
adiabática (expansão),
isobárica (rejeição de calor).