Reichl, cap. 2
Problem 2.3. Electromagnetic radiation in an evacuated vessel of volume at equilibrium with the walls at temperature (black body radiation) behaves like a gas of photons having internal energy and pressure , where is Stefans constant.
Derive explicitly the efficiency of a Carnot engine which uses blackbody radiation as its working substance.
Passo 1
Beleza! A questão pede pra gente achar a eficiência de um motor de Carnot que tem como “gás” de trabalho a radiação de corpo negro dentro de um volume . A matéria envolvida é termodinâmica: usamos a primeira lei, a definição de entropia e as características do gás de fótons (onde
são dadas). Vamos precisar derivar a expressão da entropia a partir de e , e depois aplicar o ciclo de Carnot pra obter .
Passo 2
Primeiro, lembrando da primeira lei da termodinâmica para um processo reversível:
Aqui vem de . Então calculemos .
Passo 3
Derivando em termos de e :
Agora usamos
Como , temos
Logo
Passo 4
Agora integramos para achar . Note que
E também
S = 43,a,V,T^3
tem que bater com o coeficiente obtido em , que é . Daí e podemos descartar a constante.
Resultado:
Passo 5
Num ciclo de Carnot reversível entre fonte quente QH = TH,De e fria QC = TC,De, a troca de calor na isoterma quente vale