Reichl, cap. 2
Problem 2.3. Electromagnetic radiation in an evacuated vessel of volume V at equilibrium with the walls at temperature T (black body radiation) behaves like a gas of photons having internal energy U=a V T^4 and pressure P=(1 / 3) a T^4, where a is Stefans constant.
Derive explicitly the efficiency of a Carnot engine which uses blackbody radiation as its working substance.

Passo 1

Beleza! A questão pede pra gente achar a eficiência de um motor de Carnot que tem como “gás” de trabalho a radiação de corpo negro dentro de um volume U = a,V,T^4 e P = tfrac13a,T^4 . A matéria envolvida é termodinâmica: usamos a primeira lei, a definição de entropia e as características do gás de fótons (onde
são dadas). Vamos precisar derivar a expressão da entropia a partir de e , e depois aplicar o ciclo de Carnot pra obter .

Passo 2

Primeiro, lembrando da primeira lei da termodinâmica para um processo reversível:
dU = T,dS ;-; P,dV
Aqui vem de . Então calculemos .

Passo 3

Derivando dU = partial Upartial T,dT + partial Upartial V,dV = 4aV,T^3,dT ;+; aT^4,dV em termos de dS = dU + P,dVT e dU + P,dV = 4aV,T^3,dT + aT^4,dV + 13 aT^4,dV = 4aV,T^3,dT + 43aT^4,dV :
dS = 4aV,T^3,dTT + tfrac43aT^4,dVT = 4aV,T^2,dT + 43aT^3,dV
Agora usamos
Como , temos
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Passo 4

Agora integramos para achar partial Spartial Tg|V = 4aV,T^2 Longrightarrow S = integral 4aV,T^2,dT + f(V) = tfrac43aV,T^3 + f(V) . Note que
partial Spartial Vg|T = 43aT^3 + f'(V)
E também
S = 43,a,V,T^3
tem que bater com o coeficiente obtido em , que é . Daí e podemos descartar a constante.
Resultado:

Passo 5

Num ciclo de Carnot reversível entre fonte quente QH = TH,De e fria QC = TC,De, a troca de calor na isoterma quente vale
e na fria
(com a mesma variação de entropia ).

Passo 6

A eficiência é
eta = 1 - QCQH = 1 - TC,De

Resposta

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