A relação de compressão em um ciclo padrão a ar Otto é 10. No início do curso de compressão, a pressão é igual a 0,1 \mathrm{MPa} e a temperatura é 15{ }^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que a transferência de calor ao ar, por ciclo, é igual a 1800 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} de ar, determine:
a. A pressão e a temperatura no estado final de cada processo do ciclo.
b. O rendimento térmico.
c. A pressão média efetiva.

Passo 1

Vamos organizar certinho o que o enunciado nos deu e o que pede. Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
r=10 (relação de compressão), p_1=0{,}1\\ \mathrm{MPa} (pressão no início do curso de compressão), T_1=15^\circ\mathrm{C}=288{,}15\\ \mathrm{K} (temperatura no início do curso de compressão) e a transferência de calor ao ar por ciclo Q_{in}=1800\\ \mathrm{kJ/kg}.
O enunciado pede:
a) A pressão e a temperatura no estado final de cada processo do ciclo (ou seja, nos estados finais 1→2 (compressão), 2→3 (adição de calor a volume constante), 3→4 (expansão) e 4→1 (rejeição a volume constante)).
b) O rendimento térmico do ciclo.
c) A pressão média efetiva (pressão média indicada) do ciclo.

Passo 2

Assunções e propriedades do ar que vou usar (coisas padrão e necessárias para calcular): o ar é gás ideal, processo 1→2 e 3→4 são adiabáticos reversíveis (i.e., isentrópicos). Para o ar seco uso:
\gamma=1{,}4 (razão de calores específicos), C_v=0{,}718\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)} e R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}.
Explicando por que: \gamma aparece nas relações isentrópicas; C_v aparece quando há troca de calor a volume constante: Q=C_v\Delta T; R serve para obter volumes específicos via equação dos gases ideais p v = R T. Estou pegando esses valores porque são os valores usuais para ar nas contas de termodinâmica — se o enunciado não diz outra coisa, é o que usamos.

Passo 3

Processo 1→2: compressão isentrópica (volume diminui de V_1 para V_2 com r=V_1/V_2).
Fórmula básica (relação isentrópica para temperatura):
T_2 = T_1\, r^{\gamma-1},
onde T_1 é temperatura inicial, r é a relação de compressão e \gamma a razão de calores.
Calculando:
r^{\gamma-1}=10^{\,0{,}4}=2{,}511886\ldots
T_2 = 288{,}15 \times 2{,}511886\approx 724{,}00\\ \mathrm{K}.
Pressão no estado 2: relação isentrópica para pressão
p_2 = p_1\, r^{\gamma}.
Calculando:
r^{\gamma}=10^{\,1{,}4}=25{,}118864\ldots
p_2 = 0{,}1\\ \mathrm{MPa}\times 25{,}118864 \approx 2{,}5119\\ \mathrm{MPa}.
(Comentários rápidos: essas fórmulas vêm de combinar p v^\gamma= constante e p v = R T.)

Passo 4

Processo 2→3: adição de calor a volume constante (combustão idealizada). Em processo a volume constante, a troca de calor por unidade de massa é
Q_{in} = C_v (T_3 - T_2).
Aqui Q_{in} é dado no enunciado; isolar T_3:
T_3 = T_2 + \frac{Q_{in}}{C_v}.
Substituindo numericamente:
\frac{Q_{in}}{C_v} = \frac{1800}{0{,}718}\approx 2506{,}960\\ \mathrm{K},
T_3 \approx 724{,}00 + 2506{,}96 = 3230{,}96\\ \mathrm{K}.
Como o volume é constante em 2→3, a relação entre pressões e temperaturas é direta:
\frac{p_3}{p_2}=\frac{T_3}{T_2}.
Então
p_3 = p_2 \frac{T_3}{T_2} \approx 2{,}5119\\ \mathrm{MPa}\times\frac{3230{,}96}{724{,}00}\approx 11{,}201\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Processo 3→4: expansão isentrópica de V_3 para V_4, onde V_4=V_1 (o ciclo fecha). As relações isentrópicas são análogas ao 1→2, mas agora aplicadas a partir do ponto 3:
Temperatura no fim da expansão:
T_4 = T_3\, r^{-(\gamma-1)} = \frac{T_3}{r^{\gamma-1}}.
Calculando:
T_4 = \frac{3230{,}96}{2{,}511886}\approx 1286{,}26\\ \mathrm{K}.
Pressão no estado 4:
p_4 = p_3\, r^{-\gamma} = \frac{p_3}{r^{\gamma}} \approx \frac{11{,}201}{25{,}118864}\approx 0{,}44627\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Processo 4→1: rejeição de calor a volume constante. A quantidade de calor rejeitada por unidade de massa é
Q_{out} = C_v (T_4 - T_1).
Calculando:
Q_{out} = 0{,}718 \times (1286{,}26 - 288{,}15) = 0{,}718 \times 998{,}11 \approx 716{,}10\\ \mathrm{kJ/kg}.
Rendimento térmico do ciclo (definição):
\eta = \frac{W_{net}}{Q_{in}} = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}.
Onde W_{net}=Q_{in}-Q_{out}. Calculando:
\eta = 1 - \frac{716{,}10}{1800} \approx 1 - 0{,}39783 = 0{,}60217 \approx 60{,}22\%.
Comentário útil: a fórmula clássica do ciclo Otto dá o mesmo resultado diretamente:
\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} = 1 - \frac{1}{10^{0{,}4}} \approx 1 - \frac{1}{2{,}511886} \approx 0{,}6019\\ (\text{diferenças de arredondamento mínimas}).çí

Passo 7

Pressão média efetiva (p.m.e.), que é a pressão média que aplicada ao pistão produziria o mesmo trabalho por ciclo, é definida por
\mathrm{pme} = \frac{W_{net}}{V_1 - V_2}
por unidade de massa isso fica
\mathrm{pme} = \frac{W_{net}\\ (\mathrm{kJ/kg})}{v_1 - v_2\\ (\mathrm{m^3/kg})},
onde v_1 e v_2 são volumes específicos (m^3/kg). Observação de unidades: 1\\ \mathrm{kJ/m^3}=1\\ \mathrm{kPa}.
Passos para calcular: primeiro v_1 pela equação dos gases ideais:
v_1 = \frac{R T_1}{p_1}.
Aqui cuidado com unidades: uso p_1=0{,}1\\ \mathrm{MPa}=100\\ \mathrm{kPa}, R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}, T_1=288{,}15\\ \mathrm{K}.
v_1 = \frac{0{,}287 \times 288{,}15}{100} \approx 0{,}82699\\ \mathrm{m^3/kg}.
v_2 = \frac{v_1}{r} \approx \frac{0{,}82699}{10} = 0{,}082699\\ \mathrm{m^3/kg}.
Deslocamento específico (volume varrido):
v_1 - v_2 \approx 0{,}82699 - 0{,}082699 = 0{,}74429\\ \mathrm{m^3/kg}.
Trabalho líquido por kg:
W_{net} = Q_{in} - Q_{out} = 1800 - 716{,}10 = 1083{,}90\\ \mathrm{kJ/kg}.
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\mathrm{pme} = \frac{1083{,}90}{0{,}74429}\\ \mathrm{kPa} \approx 1456{,}52\\ \mathrm{kPa} = 1{,}45652\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

a) Estado finais (pressão e temperatura): (p_1=0{,}1\ \mathrm{MPa},\ T_1=288{,}15\ \mathrm{K};\ p_2\approx 2{,}5119\ \mathrm{MPa},\ T_2\approx 724{,}00\ \mathrm{K};\ p_3\approx 11{,}201\ \mathrm{MPa},\ T_3\approx 3230{,}96\ \mathrm{K};\ p_4\approx 0{,}44627\ \mathrm{MPa},\ T_4\approx 1286{,}26\ \mathrm{K}.
b) Rendimento térmico: \eta \approx 0{,}6022 (ou 60{,}22\%).
c) Pressão média efetiva: \mathrm{pme}\approx 1{,}4565\\ \mathrm{MPa}.)

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