Determina a carga térmica e a espessura do isolamento das paredes, construídas com isolantes aplicados sobre alvenaria, das seguintes câmaras frigoríficas:
Resfriamento de BANANAS de +30^{\circ} \mathrm{C} para +5^{\circ} \mathrm{C}. Isolamento: poliestireno
\left(\mathrm{k}=0,028 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{~m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} \mu=75\right) .

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados do problema (retirei diretamente do enunciado e da figura):
    • Dimensões internas da câmara: comprimento =15\\ \mathrm{m}, largura =25\\ \mathrm{m}, pé direito (altura) =7{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura inicial do produto (bananas): +30^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura final desejada: +5^{\circ}\mathrm{C}.
    • Isolante: poliestireno com condutividade térmica k=0{,}028\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Parâmetro \mu=75 (vou usar isto como capacidade térmica volumétrica do produto: \mu=75\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{m}^{3}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})). Observação: isto é o que costuma aparecer em problemas de câmaras frigoríficas — \mu representa a energia (em kcal) necessária para reduzir em 1{,}0^{\circ}\mathrm{C} 1\\ \mathrm{m}^{3} do produto; irei usar isso explicitamente.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a carga térmica (vou calcular tanto a energia total a retirar do produto quanto a potência necessária, fazendo uma suposição razoável sobre o tempo de resfriamento).
    2. Determinar a espessura do isolamento das paredes (isolamento aplicado sobre alvenaria), usando k dado.
  • Observações importantes / hipóteses necessárias (vou explicitar e usar na solução):
    • Não foi dado tempo de resfriamento, nem fração da câmara ocupada por bananas. Vou assumir que a câmara está totalmente ocupada pelo produto (volume útil todo com bananas) e que o resfriamento ocorrerá em 24\\ \mathrm{h} (hipótese padrão em muitos problemas de projeto para carga inicial). Se você tiver outro tempo ou taxa de ocupação, os resultados mudam linearmente.
    • Vou considerar transmissão de calor pelas quatro paredes, pelo teto e pelo piso (todas com a mesma espessura de isolamento). Não estou incluindo perdas por infiltração, iluminação, portas, ventiladores etc. (só condução).
    • Para escolher a espessura vou adotar um critério prático: limitar a perda por transmissão a cerca de 10\% da potência necessária para resfriar o produto no período escolhido (é uma escolha de projeto razoável para que a maior parte da capacidade seja dedicada ao produto durante o resfriamento inicial). Depois verifico espessura comercial arredondada.

Passo 2

Calcular o volume interno da câmara e a diferença de temperatura.
  • Volume interno V:
V = 15 \times 25 \times 7 = 2625\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Diferença de temperatura (ambiente produto):
\Delta T = 30 - 5 = 25\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Expliquei: V é o espaço ocupado pelas bananas (assumido 100% de ocupação). \Delta T é a diferença de temperatura que temos de remover do produto.

Passo 3

Calcular a energia total necessária para resfriar as bananas (carga térmica sensível do produto).
  • Fórmula usada: energia sensível total a retirar do produto:
Q_{\text{total}} = \mu \, V \, \Delta T,
onde
  • \mu é a capacidade térmica volumétrica do produto em \mathrm{kcal}/(\mathrm{m}^{3}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}),
  • V é o volume em \mathrm{m}^{3},
  • \Delta T é a variação de temperatura em {}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Aplicando números:
Q_{\text{total}} = 75 \times 2625 \times 25 = 4\,921\,875\\ \mathrm{kcal}.
Comentário didático: isto significa que para baixar a temperatura de todo o volume ocupado pelas bananas de 30 para 5{ }^{\circ}\mathrm{C} precisamos remover 4{,}921{,}875\\ \mathrm{kcal} de energia térmica (energia acumulada nos frutos).

Passo 4

Transformar a energia total em potência (carga térmica em \mathrm{kcal/h}) assumindo tempo de resfriamento.
  • Assumo tempo de resfriamento t=24\\ \mathrm{h} (hipótese de projeto).
  • Potência média necessária para o resfriamento do produto:
\dot{Q}_{\text{produto}} = \frac{Q_{\text{total}}}{t} = \frac{4\,921\,875}{24} \approx 205\,078{,}125\\ \mathrm{kcal/h}.
Explicação: \dot{Q} em \mathrm{kcal/h} é a taxa média de remoção de calor necessária durante as 24\\ \mathrm{h}. Se você quiser resfriar mais rápido (ex.: em 12 h), essa potência dobra.

Passo 5

Calcular as áreas pelas quais ocorre transmissão por condução (paredes, teto, piso).
  • Área do piso (e do teto):
A_{\text{piso}} = A_{\text{teto}} = 15 \times 25 = 375\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Área das quatro paredes:
    • Perímetro P = 2(15+25)=80\\ \mathrm{m}.
    • Área das paredes A_{\text{paredes}} = P \times \text{altura} = 80 \times 7 = 560\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Área total de transmissão (paredes + teto + piso):
A_{\text{total}} = 560 + 375 + 375 = 1\,310\\ \mathrm{m}^{2}.
Comentário: estou assumindo que piso e teto também levam isolamento na mesma espessura; se o piso for outro caso (ex.: piso sobre solo) isso muda o cálculo.

Passo 6

Escolher critério para dimensionar a espessura do isolamento e transformar isso em exigência de transmitância U.
  • Critério de projeto adotado: limitar a transmissão por condução a 10\% da potência média necessária para resfriar o produto:
\dot{Q}_{\text{trans, permitida}} = 0{,}10 \times \dot{Q}_{\text{produto}} = 0{,}10 \times 205\,078{,}125 \approx 20\,507{,}8125\\ \mathrm{kcal/h}.
  • A relação entre transmissividade térmica (U), área, diferença de temperatura e potência por condução é:
\dot{Q}_{\text{trans}} = U \, A_{\text{total}} \, \Delta T,
portanto exigimos que
U \le \frac{\dot{Q}_{\text{trans, permitida}}}{A_{\text{total}} \, \Delta T}.
  • Calcular U máximo permitido:
U_{\max} = \frac{20\,507{,}8125}{1\,310 \times 25} = \frac{20\,507{,}8125}{32\,750} \approx 0{,}626041\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^{2}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}.
Explicação didática: U é a transmitância térmica (como um coeficiente global de passagem de calor), em unidades de \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^{2}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}). Para um único material homogêneo com espessura e e condutividade k, temos U = k/e.

Passo 7

Calcular a espessura de isolamento necessária com base em U_{\max} e k.
  • Relação entre U, k e espessura e (isolante homogêneo):
U = \frac{k}{e} \quad \Rightarrow \quad e = \frac{k}{U}.
  • Com k=0{,}028\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}) e U_{\max}=0{,}626041,
e = \frac{0{,}028}{0{,}626041} \approx 0{,}04474\\ \mathrm{m} = 44{,}74\\ \mathrm{mm}.
Comentário: isto dá uma espessura teórica de cerca de 45\\ \mathrm{mm}. Na prática escolhemos uma espessura comercial arredondada (ex.: 50\\ \mathrm{mm}).

Passo 8

Verificação com espessura comercial arredondada e=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Transmitância com e=0{,}05\\ \mathrm{m}:
U = \frac{k}{e} = \frac{0{,}028}{0{,}05} = 0{,}56\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^{2}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}}.
  • Potência por condução resultante:
\dot{Q}_{\text{trans}} = U \, A_{\text{total}} \, \Delta T = 0{,}56 \times 1\,310 \times 25 = 18\,340\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Fração em relação à potência do produto:
\frac{\dot{Q}_{\text{trans}}}{\dot{Q}_{\text{produto}}} = \frac{18\,340}{205\,078{,}125}\approx 0{,}0894 \approx 8{,}94\%.
Interpretação: com 50\\ \mathrm{mm} de poliestireno a perda por transmissão fica em torno de 18{,}340\\ \mathrm{kcal/h}, que é cerca de 9\% da potência média exigida para resfriar o produto em 24\\ \mathrm{h}. Isto satisfaz o critério de projeto (menor que 10\%).

Passo 9

Resumo dos resultados e observações finais (didática e incentivo).
  • Energia total a retirar das bananas para baixar de 30 para 5{ }^{\circ}\mathrm{C}: Q_{\text{total}} = 4\,921\,875\\ \mathrm{kcal}.
  • Potência média necessária para resfriamento em 24\\ \mathrm{h}: \dot{Q}_{\text{produto}} \approx 205\,078{,}125\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Espessura teórica do isolamento para limitar perda por condução a 10\% da potência: e\approx 44{,}7\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura comercial recomendada e verificada: e=50\\ \mathrm{mm}, que resulta em perda por condução \dot{Q}_{\text{trans}}\approx 18\,340\\ \mathrm{kcal/h} (≈ 8{,}9\% da potência do produto).
Observação final amigável: se você quiser outro tempo de resfriamento (ex.: 12\\ \mathrm{h} ou 48\\ \mathrm{h}) ou considerar que a câmara não estará totalmente ocupada por bananas, eu repito os cálculos rapidamente com esses novos dados — a relação é linear (dobrar/de metade do tempo dobra/medeia a potência).

Resposta

Q_{\text{total}} = 4\,921\,875\\ \mathrm{kcal} (energia total a ser retirada)
\dot{Q}_{\text{produto}}\approx 205\,078{,}125\\ \mathrm{kcal/h} (potência média para resfriamento em 24\\ \mathrm{h})
Espessura teórica e\approx 44{,}7\\ \mathrm{mm}; adotar espessura comercial e=50\\ \mathrm{mm} (verificação: \dot{Q}_{\text{trans}}\approx 18\,340\\ \mathrm{kcal/h}, ≈ 8{,}9\% da potência do produto)

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