Um ciclo de refrigeração tem as seguintes condições de entrada do compressor: -10 { }^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa , e o ambiente traz o ar para 35^{\circ} \mathrm{C} a 400 kPa . Encontre a menor temperatura do ciclo e o trabalho específico do compressor. (- 68,3^{\circ} \mathrm{C} ;-128,6 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} )

Passo 1

Aqui eu preciso identificar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos. O enunciado dá as condições na entrada do compressor e as condições do ar no trocador com o ambiente, e pede: a menor temperatura do ciclo (temperatura mínima atingida no ciclo) e o trabalho específico do compressor. Dados fornecidos:
\text{Entrada do compressor: } T_1 = -10^\circ\mathrm{C},\; P_1 = 100\\ \mathrm{kPa}.
\text{Após o resfriamento pelo ambiente: } T_3 = 35^\circ\mathrm{C},\; P_2 = 400\\ \mathrm{kPa}.ó
Observações que ficam explícitas a partir do enunciado (não estou supondo coisa aleatória, são características típicas do ciclo sugerido):
  • O ciclo é o ciclo de refrigeração do tipo Brayton reverso (também chamado de Ciclo Bell‑Coleman reverso) usando ar como fluido de trabalho. Isso porque temos compressão de ar de P_1 para P_2, resfriamento a P_2 até a temperatura do ambiente T_3, expansão de volta para P_1 e então aquecimento no evaporador até T_1.
  • O processo de compressão e de expansão são considerados isotérmicos? Não — para ciclo reverso Brayton típico consideramos compressão e expansão adiabáticas reversíveis (isentrópicas) do ar tratado como gás perfeito com calor específico constante.
  • Então os passos do ciclo relevantes são:
    1. Compressão isentrópica: 1\to2 de (T_1,P_1) para (T_2,P_2).
    2. Resfriamento isobárico: 2\to3 a P_2, até T_3 (temperatura do ambiente).
    3. Expansão isentrópica: 3\to4 de P_2 para P_1, produzindo a temperatura mínima T_4.
    4. Aquecimento isobárico: 4\to1 a P_1, regenerando T_1.
  • Os valores numéricos que usarei (convencionais para ar a condições moderadas): c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad k = \gamma = \frac{c_p}{c_v} \approx 1{,}4.
  • O que preciso calcular: T_{\min}=T_4 e o trabalho específico do compressor w_{comp} (trabalho por unidade de massa no processo 1\to2). Neste enunciado o resultado final deve ser a menor temperatura do ciclo e o trabalho específico do compressor.

Passo 2

Explico quais fórmulas vamos usar e porquê — aula curta e prática:
  • Para um gás ideal com calor específico constante submetido a uma transformação isentrópica (adiabática e reversível), a relação entre temperaturas e pressões é
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{k-1}{k}},
onde T está em kelvin, P em qualquer unidade consistente (a razão P_2/P_1 é adimensional), e k=\gamma=c_p/c_v. Essa fórmula vem da combinação da lei dos gases ideais com a relação de processos isentrópicos P V^k = constante e da relação T V^{k-1}= constante; não precisamos derivar agora, apenas entender que ela dá como a temperatura varia com a razão de pressões quando o processo é isentrópico.
  • Para a expansão isentrópica de 3\to4 (mesma razão de pressões inversa), temos
\frac{T_4}{T_3}=\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\!\frac{k-1}{k}}.
  • O trabalho específico do compressor, para compressão isentrópica de um gás ideal com c_p constante, é a variação de entalpia por unidade de massa:
w_{comp}=c_p\,(T_2-T_1).
Explicando: entalpia massiva h=c_p T para gás ideal com c_p constante, e trabalho em compressão adiabática reversível é igual ao acréscimo de entalpia (por unidade de massa) no compressor (desprezando diferenças de energia cinética e potencial).
  • All set: vamos calcular T_2 (pela relação isentrópica) e usar T_3 dado para calcular T_4 pela relação isentrópica inversa; em seguida calculamos w_{comp}.

Passo 3

Primeiro converto as temperaturas dadas em kelvin (lembrando que temperaturas em fórmulas termodinâmicas de razão têm que estar em kelvin):
T_1 = -10^\circ\mathrm{C} = -10 + 273{,}15 = 263{,}15\\ \mathrm{K},
T_3 = 35^\circ\mathrm{C} = 35 + 273{,}15 = 308{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calculo a razão de pressão:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{400\\ \mathrm{kPa}}{100\\ \mathrm{kPa}}=4.
A partir daqui uso k=1{,}4 (valor padrão para o ar). Então o expoente isentrópico é
\frac{k-1}{k}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots = \frac{2}{7}.

Passo 5

Calculo a temperatura após compressão isentrópica ( T_2):
T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{k-1}{k}} =263{,}15\cdot 4^{\,0{,}285714\ldots}.
Agora avalio numericamente 4^{0{,}285714\ldots}=4^{2/7}=2^{4/7}\approx 1{,}486026. Portanto
T_2 \approx 263{,}15\cdot 1{,}486026 \approx 391{,}05\\ \mathrm{K}.
(Expliquei: calculei 4^{2/7} usando a identidade 4=2^2 e exponenciação fracionária; o valor numérico foi obtido pela avaliação da exponencial.)

Passo 6

Com T_2 calculado, agora calculo o trabalho específico do compressor usando c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}:
w_{comp}=c_p\,(T_2-T_1)=1{,}005\cdot(391{,}05-263{,}15)\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calculo a diferença de temperatura:
T_2-T_1 \approx 391{,}05 - 263{,}15 = 127{,}90\\ \mathrm{K}.
Logo
w_{comp}\approx 1{,}005\cdot 127{,}90 \approx 128{,}54\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação de sinal: este é o trabalho fornecido ao compressor (energia por kg). Se você adotar a convenção “trabalho do sistema” ele aparece negativo; em muitos enunciados de refrigeração escreve-se w_{comp}=-128{,}6\\ \mathrm{kJ/kg} para indicar entrada (eu reportarei magnitudes e sinal conforme pedido).

Passo 7

Agora calculo a menor temperatura do ciclo, que é T_4 obtida pela expansão isentrópica 3\to4:
T_4 = T_3\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\!\frac{k-1}{k}} =308{,}15\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{0{,}285714\ldots}.
Como \left(\frac{1}{4}\right)^{0{,}285714}=4^{-0{,}285714}=1/4^{0{,}285714}\approx 1/1{,}486026\approx 0{,}672799. Logo
T_4 \approx 308{,}15\cdot 0{,}672799 \approx 207{,}33\\ \mathrm{K}.
Converto para Celsius:
T_4 = 207{,}33\\ \mathrm{K} - 273{,}15 \approx -65{,}82^\circ\mathrm{C}.
Esse é o ponto mais frio do ciclo (a saída após a expansão isentrópica).

Passo 8

Resumo numérico e interpretação final dos resultados (arredondamentos apropriados):
  • Menor temperatura do ciclo: T_{\min}=T_4\approx 207{,}33\\ \mathrm{K} = -65{,}8^\circ\mathrm{C}.
  • Trabalho específico do compressor (energia fornecida ao compressor por kg de ar): w_{comp}\approx 128{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}. Se quiser o sinal como “trabalho pelo sistema” usamos w_{comp}=-128{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
Dica prática para a prova: memorize as duas fórmulas-chaves para processos isentrópicos com gás ideal (em Kelvin)
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{k-1}{k}},\qquad w_{comp}=c_p(T_2-T_1).
Com isso você resolve rapidamente qualquer ciclo Brayton reverso em exercícios sem tabelas: converta temperaturas pra Kelvin, calcule T_2 com a razão de pressões, depois use T_3 (resfriado ao ambiente) para obter T_4 pela razão inversa.

Resposta

T_{\min}= -65{,}8^\circ\mathrm{C}\n w_{comp}=-128{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}

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