Um ciclo Brayton tem uma razão de compressão de 15:1, com uma temperatura máxima de 1600 K , com a entrada a 290 \mathrm{~K}, 100 \mathrm{kPa}. Use as propriedades do ar como constantes e calcule o calor por unidade de massa adicionado e o trabalho específico. ( 975,2 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} ; 525,34 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} )

Passo 1

O enunciado dá um ciclo Brayton (ciclo de gás ideal) com as seguintes informações e pede o calor adicionado por unidade de massa e o trabalho específico (líquido) por unidade de massa. Dados fornecidos:
\text{razão de compressão (relação de pressão)}\; r_p = 15ããçãã
T_1 = 290\\ \mathrm{K},\quad p_1 = 100\\ \mathrm{kPa}
T_3 = 1600\\ \mathrm{K}\quad(\text{temperatura máxima — entrada da turbina})á
O que se pede:
  • Calor por unidade de massa adicionado ( q_{in}), em \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho específico líquido do ciclo ( w_{net}), em \mathrm{kJ/kg}.

Passo 2

Assumimos o modelo padrão do ciclo Brayton ideal com ar como gás perfeito e processos de compressão e expansão isentrópicos ideais. Também assumimos propriedades constantes do ar. As constantes que vamos usar (valores típicos):
k = \frac{c_p}{c_v} = 1{,}4,\qquad c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}
Explicação das fórmulas essenciais:
  • Para um processo isentrópico de um gás ideal, a relação entre temperaturas e pressões é
\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}
onde T_1 e T_2 são temperaturas antes e depois do processo, p_1 e p_2 são pressões antes e depois, e k é a razão de calores específicos.
  • No ciclo Brayton ideal com aquecimento a pressão constante, o calor adicionado por unidade de massa é
q_{in} = c_p\,(T_3 - T_2).
  • O calor rejeitado é
q_{out} = c_p\,(T_4 - T_1),
onde T_4 é a temperatura após expansão (saída da turbina).
  • O trabalho líquido por unidade de massa é a diferença entre trabalho da turbina e trabalho do compressor; pelo balanço energético do ciclo, isso é
w_{net} = q_{in} - q_{out}.

Passo 3

Calcular a temperatura após a compressão isentrópica ( T_2). A pressão após o compressor é
p_2 = r_p\,p_1 = 15\cdot p_1.
Usamos a relação isentrópica de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1} = r_p^{\frac{k-1}{k}}.
Substituindo números:
\frac{T_2}{290} = 15^{\frac{0{,}4}{1{,}4}} = 15^{0{,}285714\ldots}
Calculando a potência:
15^{0{,}285714\ldots} \approx 2{,}168892
Logo
T_2 = 290 \times 2{,}168892 \approx 628{,}98\\ \mathrm{K}.
Interpretação: após a compressão isentrópica a temperatura sobe de 290\\ \mathrm{K} para aproximadamente 628{,}98\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o calor adicionado por unidade de massa, que é aquecimento a pressão constante de T_2 até T_3:
q_{in} = c_p\,(T_3 - T_2).
Substituindo c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}, T_3 = 1600\\ \mathrm{K} e T_2 \approx 628{,}98\\ \mathrm{K}:
T_3 - T_2 = 1600 - 628{,}98 = 971{,}02\\ \mathrm{K}.
q_{in} = 1{,}005 \times 971{,}02 \approx 975{,}88\\ \mathrm{kJ/kg}.
Explicando: c_p é o calor específico a pressão constante; multiplicando pela variação de temperatura obtemos a energia térmica fornecida por kg de ar no aquecedor.

Passo 5

Calcular a temperatura de saída da turbina T_4 assumindo expansão isentrópica de p_3 = p_2 até p_4 = p_1. Para a expansão isentrópica a relação é análoga:
\frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{p_4}{p_3}\right)^{\frac{k-1}{k}} = \left(\frac{1}{r_p}\right)^{\frac{k-1}{k}} = r_p^{-\frac{k-1}{k}}.
Portanto
T_4 = T_3\,r_p^{-\frac{k-1}{k}} = \frac{T_3}{15^{0{,}285714\ldots}}.
Usando o valor já calculado para 15^{0{,}285714\ldots}:
T_4 = \frac{1600}{2{,}168892} \approx 737{,}87\\ \mathrm{K}.
Agora calculamos o calor rejeitado:
q_{out} = c_p\,(T_4 - T_1) = 1{,}005\,(737{,}87 - 290) = 1{,}005 \times 447{,}87 \approx 450{,}11\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular o trabalho específico líquido do ciclo. Pelo balanço energético do ciclo:
w_{net} = q_{in} - q_{out}.
Substituindo os valores obtidos:
w_{net} \approx 975{,}88 - 450{,}11 = 525{,}77\\ \mathrm{kJ/kg}.
Também podemos interpretar w_{net} como w_{turbina} - w_{compressor}, onde
w_{compressor} = c_p\,(T_2 - T_1) \approx 1{,}005\,(628{,}98 - 290) \approx 340{,}70\\ \mathrm{kJ/kg},
w_{turbina} = c_p\,(T_3 - T_4) \approx 1{,}005\,(1600 - 737{,}87) \approx 866{,}48\\ \mathrm{kJ/kg},
e 866{,}48 - 340{,}70 \approx 525{,}78\\ \mathrm{kJ/kg} (mesmo resultado dentro de arredondamento).

Passo 7

Resumo e observações finais rápidas (ânimo!): usamos o modelo ideal do ciclo Brayton com ar tratado como gás perfeito e processos isentrópicos no compressor e na turbina. Os passos chaves foram: (1) usar a relação isentrópica para obter T_2 a partir de T_1 e r_p; (2) calcular q_{in} como c_p(T_3-T_2); (3) obter T_4 pela relação isentrópica inversa e calcular q_{out}; (4) subtrair para obter w_{net}. Se quiser, eu te mostro o mesmo raciocínio usando outro valor de c_p ou incluindo eficiências não-ideais (compressor/turbina) — isso aproxima mais dos valores práticos.

Resposta

q_{in} \approx 975{,}88\\ \mathrm{kJ/kg}
w_{net} \approx 525{,}77\\ \mathrm{kJ/kg}

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