Relação fundamental e gás ideal
A partir das equações de estado mecânica e térmica de um gás ideal diatômico, obtenha a relação fundamental s=s(u, v) para este sistema.

Passo 1

Beleza, então o enunciado manda a gente achar a “relação fundamental”
s = s(u,v)
para um gás ideal diatômico.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Equação de estado térmica do gás ideal diatômico: u = tfracf2RT, f=5
  2. Equação de estado mecânica do gás ideal: p,v = R T
  3. Identidade termodinâmica para entropia: ds = 1T,du + pT,dv
Ou seja, precisamos combinar essas três coisas e integrar para achar .

Passo 2

Primeiro a gente escreve a identidade termodinâmica:
ds = 1T,du + pT,dv
Isso vem direto da primeira e segunda leis (na forma de entropia), e vale para qualquer substância.

Passo 3

Agora substituímos u = 52R,T Longrightarrow T = 2u5R Longrightarrow 1T = 5R2u e p,v = RT Longrightarrow pT = Rv em função de e .
  1. Da equação térmica:
  1. Da equação mecânica:

Passo 4

Agora a diferencial de ds = 5R2u,du ;+; Rv,dv vira
Isso já é uma soma de diferenciais fáceis de integrar, porque
e
.

Passo 5

Integramos cada termo:
s(u,v) = integral 5R2u,du ;+; integral Rv,dv = 5R2ln u ;+; Rln v ;+; s0,
onde é uma constante de integração (que depende somente do tipo de gás e da referência de entropia que escolhermos).

Resposta

boxed s(u,v) ;=; 5R2,ln u ;+; R,ln v ;+; const
Essa é a relação fundamental para a entropia de um gás ideal diatômico como função da energia interna e do volume específico .

Exercícios relacionados