Um reservatório contendo óleo
precisa ser esvaziado e limpo para uma operação de solda em seu casco. De maneira a agendar uma parada para manutenção, determine o tempo de esvaziamento deste tanque, sabendo que o mesmo possui um diâmetro de 5 m e está com óleo a uma altura de 3 m . O diâmetro da tubulação de purga é de 2 ". A velocidade na saída é dada por Bernoulli:
.
Passo 1
O problema trata do esvaziamento de um reservatório cilíndrico de diâmetro
cujo nível de óleo inicial é
. A descarga ocorre por uma tubulação de diâmetro interno de
(polegadas), onde a velocidade de saída obedece à fórmula de Torricelli, resultante de Bernoulli:
Vamos determinar o tempo necessário até o nível chegar a zero usando conservação de volume e a relação entre área do tanque, área da tubulação e a velocidade de saída.
Passo 2
Calculamos as áreas da seção do tanque e da tubulação:
A área interna do cilindro (tanque) é
A área interna do cilindro (tanque) é
com
, logo
O diâmetro da tubulação é
. Sua área é
com
, portanto
Passo 3
Pela conservação de volume, a vazão volumétrica de saída é
Como o volume no tanque é
, temos
Isso gera a equação diferencial
Passo 4
Separamos variáveis para integrar de
até
e de
até
:
Integrando ambos os lados,
O lado esquerdo dá
logo
Cancelando o sinal negativo,
Passo 5
Substituindo valores numéricos:
Calculamos primeiro o quociente de áreas:
Depois
Assim,
Convertendo para horas:
Resposta
O esvaziamento completo do tanque leva aproximadamente
, isto é, cerca de
horas (aproximadamente 2 h 6 min).