Um reservatório contendo óleo (rho=800 kg / m^3) precisa ser esvaziado e limpo para uma operação de solda em seu casco. De maneira a agendar uma parada para manutenção, determine o tempo de esvaziamento deste tanque, sabendo que o mesmo possui um diâmetro de 5 m e está com óleo a uma altura de 3 m . O diâmetro da tubulação de purga é de 2 ". A velocidade na saída é dada por Bernoulli: omega2=raiz2 g h.

Passo 1

O problema trata do esvaziamento de um reservatório cilíndrico de diâmetro 5,0 m cujo nível de óleo inicial é h0=3,0 m. A descarga ocorre por uma tubulação de diâmetro interno de 2'' (polegadas), onde a velocidade de saída obedece à fórmula de Torricelli, resultante de Bernoulli:
omega2 = raiz2,g,h
Vamos determinar o tempo necessário até o nível chegar a zero usando conservação de volume e a relação entre área do tanque, área da tubulação e a velocidade de saída.

Passo 2

Calculamos as áreas da seção do tanque e da tubulação:
A área interna do cilindro (tanque) é
A = pi D^24
com D = 5,0 m, logo
A = pi,(5,0)^24 = 6,25,pi m^2
O diâmetro da tubulação é 2'' = 2times2,54 cm=5,08 cm=0,0508 m. Sua área é
a = pi d^24
com d=0,0508 m, portanto
a = pi,(0,0508)^24 approx 0,00064516,pi approx 0,00203 m^2

Passo 3

Pela conservação de volume, a vazão volumétrica de saída é
Q = a,omega2 = araiz2,g,h
Como o volume no tanque é V = A,h, temos
dVdt = A,dhdt = -Q = -,araiz2,g,h
Isso gera a equação diferencial
A,dhdt = -,a,raiz2,g,h

Passo 4

Separamos variáveis para integrar de h=h0 até h=0 e de t=0 até t=tfinal:
dhraizh = -,aA,raiz2,g;dt
Integrando ambos os lados,
integralh0^0 h^-1/2,dh = -,aA,raiz2,g,integral0^tfinal dt
O lado esquerdo dá
[2,raizh]h0^0 = -2,raizh0,
logo
-2,raizh0 = -,aA,raiz2,g;tfinal
Cancelando o sinal negativo,
tfinal = 2,Aa;raizh02,g = 2,Aa;raizh0raiz2,g

Passo 5

Substituindo valores numéricos:
A = 6,25,piapprox19,635 m^2, aapprox0,00203 m^2, h0=3,0 m, g=9,81 m/s^2
Calculamos primeiro o quociente de áreas:
Aaapprox19,6350,00203approx9688
Depois
raizh02,g = raiz3,02cdot9,81 = raiz0,15299approx0,3911
Assim,
tfinal =2times9688times0,3911 approx7582 s
Convertendo para horas:
75823600approx2,11 h approx2 h;6 min

Resposta

O esvaziamento completo do tanque leva aproximadamente 7580 s, isto é, cerca de 2,1 horas (aproximadamente 2 h 6 min).

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