Qual é a resistência total de um cabo de cobre com seção transversal de
que atende uma aplicação industrial lotada a 40 metros do quadro geral se a temperatura de operação for de
? Qual é o valor percentual de alteração da resistência em relação à temperatura de referência (
)? Por fim, este fato traz que tipo de impacto financeiro (lucro ou prejuízo) para o dono da instalação desta indústria e porquê?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a resistência total do cabo de cobre que alimenta a instalação a
quando a temperatura de operação é . - Calcular o valor percentual da alteração da resistência em relação à temperatura de referência
. - Dizer que tipo de impacto financeiro (lucro ou prejuízo) isso traz para o dono da instalação e justificar por quê.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Comprimento do cabo:
. - Seção transversal:
. - Coeficiente de temperatura em
: . - Resistividade do cobre a
: . - Temperatura de operação:
.
Passo 2
Fórmulas e conceitos que vou usar (explicação didática):
- Resistência elétrica de um condutor homogêneo: a resistência
depende da resistividade , do comprimento e da área da seção transversal pela fórmula
Aqui:
-
é a resistividade do material (unidade dada em ); -
é o comprimento em metros; -
é a área da seção transversal em .
Se usar essas unidades, o resultado sai em. - Dependência da resistividade com a temperatura (modelo linear, válido para pequenas variações):
onde:
-
é a resistividade a ; -
é o coeficiente de temperatura referido a ; -
é a temperatura de operação em . - Como
é proporcional a , vale também
ou seja, a resistência cresce na mesma proporção que a resistividade quando a temperatura aumenta (mantendo geometria e comprimento constantes).
Passo 3
Calcular a resistência do cabo à temperatura de referência
(passo intermédio útil):
- Primeiro calcule
usando , e :
Substituindo os números:
Faço a conta em duas etapas:
Arredondando sensatamente, tenho
Passo 4
Calcular a resistividade e a resistência à
:
- A variação de temperatura é
. - Fator de correção da resistividade:
- Portanto a resistividade a
é
- E a resistência do cabo a
é
Usando
:
Arredondando,
Passo 5
Calcular o valor percentual de alteração da resistência:
- A alteração percentual relativa (em relação a
) é
Como
, tem-se
Logo a alteração percentual é
Passo 6
Impacto financeiro (explicação didática e conclusão prática):
- Por que a resistência maior gera prejuízo? Porque as perdas elétricas em um condutor são dissipadas em calor segundo a lei de Joule:
onde
é a corrente que circula no cabo. Se a corrente da instalação for a mesma, um aumento de
em
provoca um aumento de
em
. Mais perdas significam:
- maior consumo de energia entregue (mais kWh desperdiçados como calor) → contas de energia maiores;
- maior queda de tensão na linha (
) → possível redução de desempenho de motores/equipamentos e risco de desligamentos/problemas; - aquecimento extra do cabo → envelhecimento do isolamento e necessidade de manutenção/substituição mais cedo.
- Portanto o efeito é prejuízo para o dono da instalação: maior gasto com energia e maior custo de manutenção/substituição a médio/longo prazo. Se fosse possível reduzir corrente (ou aumentar seção do cabo) poderia mitigar, mas com a mesma instalação o aumento de temperatura e de resistência resulta em prejuízo.
Resposta
Variação percentual em relação a
Impacto financeiro: Prejuízo — aumento das perdas por efeito Joule (mais consumo de energia e maior queda de tensão), além de maior aquecimento e desgaste do cabo.