Qual é a resistência total de um cabo de cobre com seção transversal de 60,0 \mathrm{~mm}^{2} que atende uma aplicação industrial lotada a 40 metros do quadro geral se a temperatura de operação for de 45^{\circ} C ? Qual é o valor percentual de alteração da resistência em relação à temperatura de referência ( 20^{\circ} C )? Por fim, este fato traz que tipo de impacto financeiro (lucro ou prejuízo) para o dono da instalação desta indústria e porquê?
\text { Dados : } \alpha_{20}=0,004\left[{ }^{\circ} C^{-1}\right] ; \rho_{C U_{20}{ }^{\circ} C}=0,0169\left[\frac{\Omega \cdot m m^{2}}{m}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a resistência total do cabo de cobre que alimenta a instalação a 40\\ \mathrm{m} quando a temperatura de operação é 45^{\circ}C.
  • Calcular o valor percentual da alteração da resistência em relação à temperatura de referência 20^{\circ}C.
  • Dizer que tipo de impacto financeiro (lucro ou prejuízo) isso traz para o dono da instalação e justificar por quê.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Comprimento do cabo: L=40\\ \mathrm{m}.
  • Seção transversal: A=60{,}0\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Coeficiente de temperatura em 20^{\circ}C: \alpha_{20}=0{,}004\\ \mathrm{^{\circ}C^{-1}}.
  • Resistividade do cobre a 20^{\circ}C: \rho_{Cu,20^\circ C}=0{,}0169\\ \left[\dfrac{\Omega\cdot\mathrm{mm^{2}}}{\mathrm{m}}\right].
  • Temperatura de operação: T=45^{\circ}C.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vou usar (explicação didática):
  • Resistência elétrica de um condutor homogêneo: a resistência R depende da resistividade \rho, do comprimento L e da área da seção transversal A pela fórmula
R=\rho\frac{L}{A}.
Aqui:
  • \rho é a resistividade do material (unidade dada em \Omega\cdot\mathrm{mm^{2}}/\mathrm{m});
  • L é o comprimento em metros;
  • A é a área da seção transversal em \mathrm{mm^{2}}.
    Se usar essas unidades, o resultado sai em \Omega.
  • Dependência da resistividade com a temperatura (modelo linear, válido para pequenas variações):
\rho(T)=\rho_{20}\bigl[1+\alpha_{20}(T-20)\bigr],
onde:
  • \rho_{20} é a resistividade a 20^{\circ}C;
  • \alpha_{20} é o coeficiente de temperatura referido a 20^{\circ}C;
  • T é a temperatura de operação em {}^{\circ}C.
  • Como R é proporcional a \rho, vale também
R(T)=R_{20}\bigl[1+\alpha_{20}(T-20)\bigr],
ou seja, a resistência cresce na mesma proporção que a resistividade quando a temperatura aumenta (mantendo geometria e comprimento constantes).

Passo 3

Calcular a resistência do cabo à temperatura de referência 20^{\circ}C (passo intermédio útil):
  • Primeiro calcule R_{20} usando \rho_{20}, L e A:
R_{20}=\rho_{Cu,20^\circ C}\frac{L}{A}.
Substituindo os números:
R_{20}=0{,}0169\cdot\frac{40}{60{,}0}.
Faço a conta em duas etapas:
0{,}0169\cdot 40 = 0{,}676,
\frac{0{,}676}{60{,}0}=0{,}011266\overline{6}\\ \Omega.
Arredondando sensatamente, tenho
R_{20}\approx 0{,}01127\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a resistividade e a resistência à 45^{\circ}C:
  • A variação de temperatura é \Delta T=T-20=45-20=25\\ ^{\circ}C.
  • Fator de correção da resistividade:
1+\alpha_{20}\Delta T=1+0{,}004\cdot 25=1+0{,}1=1{,}1.
  • Portanto a resistividade a 45^{\circ}C é
\rho_{45}=\rho_{20}\cdot 1{,}1=0{,}0169\cdot 1{,}1=0{,}01859\\ \left[\dfrac{\Omega\cdot\mathrm{mm^{2}}}{\mathrm{m}}\right].
  • E a resistência do cabo a 45^{\circ}C é
R_{45}=\rho_{45}\frac{L}{A}=R_{20}\cdot 1{,}1.
Usando R_{20}\approx 0{,}011266\overline{6}\\ \Omega:
R_{45}\approx 0{,}011266\overline{6}\times 1{,}1=0{,}012393\overline{3}\\ \Omega.
Arredondando,
R_{45}\approx 0{,}01239\\ \Omega.

Passo 5

Calcular o valor percentual de alteração da resistência:
  • A alteração percentual relativa (em relação a 20^{\circ}C) é
\frac{R_{45}-R_{20}}{R_{20}}\times 100\%.
Como R_{45}=R_{20}\cdot 1{,}1, tem-se
\frac{R_{45}-R_{20}}{R_{20}}=\frac{1{,}1R_{20}-R_{20}}{R_{20}}=0{,}1.
Logo a alteração percentual é
0{,}1\times 100\%=10\%.

Passo 6

Impacto financeiro (explicação didática e conclusão prática):
  • Por que a resistência maior gera prejuízo? Porque as perdas elétricas em um condutor são dissipadas em calor segundo a lei de Joule:
P_{\text{perda}}=I^{2}R,
onde I é a corrente que circula no cabo. Se a corrente da instalação for a mesma, um aumento de 10\% em R provoca um aumento de 10\% em P_{\text{perda}}. Mais perdas significam:
  • maior consumo de energia entregue (mais kWh desperdiçados como calor) → contas de energia maiores;
  • maior queda de tensão na linha ( \Delta V=I\cdot R) → possível redução de desempenho de motores/equipamentos e risco de desligamentos/problemas;
  • aquecimento extra do cabo → envelhecimento do isolamento e necessidade de manutenção/substituição mais cedo.
  • Portanto o efeito é prejuízo para o dono da instalação: maior gasto com energia e maior custo de manutenção/substituição a médio/longo prazo. Se fosse possível reduzir corrente (ou aumentar seção do cabo) poderia mitigar, mas com a mesma instalação o aumento de temperatura e de resistência resulta em prejuízo.

Resposta

R_{45}\approx 0{,}01239\\ \Omega
Variação percentual em relação a 20^{\circ}C: 10\%
Impacto financeiro: Prejuízo — aumento das perdas por efeito Joule (mais consumo de energia e maior queda de tensão), além de maior aquecimento e desgaste do cabo.

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