Resolva as operações abaixo. Indique todos os passos usados na solução. Dê o resultado na forma polar ( \mathrm{z}= |\mathrm{z}| \angle \theta) e na forma retangular (\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{jb}).
\mathrm{z}=\left(20 \angle-75^{\circ}\right)+\left(35 \angle 80^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma de dois números complexos em forma polar, \;z_1 = 20\angle -75^\circ e \;z_2 = 35\angle 80^\circ,
e nos solicita o resultado em forma retangular \bigl(z = a + jb\bigr) e em forma polar \bigl(z = |z|\angle\theta\bigr).
Para isso, vamos usar as fórmulas de conversão entre forma polar e retangular:
a = r\cos\theta,\quad b = r\sin\theta,
e depois
|z| = \sqrt{a^2 + b^2},\quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr),
ajustando o quadrante conforme a e b.

Passo 2

Converter z_1 = 20\angle -75^\circ para a forma retangular:
a_1 = 20\cos(-75^\circ) = 20\cos75^\circ \approx 20 \times 0{,}2588 = 5{,}18,
b_1 = 20\sin(-75^\circ) = -20\sin75^\circ \approx -20 \times 0{,}9659 = -19{,}32.
Logo,
z_1 \approx 5{,}18 \;+\; j(-19{,}32).

Passo 3

Converter z_2 = 35\angle 80^\circ para a forma retangular:
a_2 = 35\cos80^\circ \approx 35 \times 0{,}1736 = 6{,}08,
b_2 = 35\sin80^\circ \approx 35 \times 0{,}9848 = 34{,}47.
Logo,
z_2 \approx 6{,}08 \;+\; j\,34{,}47.

Passo 4

Somar as partes reais e imagiárias para obter z = z_1 + z_2:
a = a_1 + a_2 \approx 5{,}18 + 6{,}08 = 11{,}26,
b = b_1 + b_2 \approx -19{,}32 + 34{,}47 = 15{,}15.
Portanto, na forma retangular,
z \approx 11{,}26 + j\,15{,}15.

Passo 5

Converter essa forma retangular para a forma polar:
|z| = \sqrt{11{,}26^2 + 15{,}15^2} \approx \sqrt{126{,}77 + 229{,}52} = \sqrt{356{,}29} \approx 18{,}88,
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{15{,}15}{11{,}26}\bigr) \approx \arctan(1{,}346) \approx 53{,}59^\circ,
e, como a>0 e b>0, \theta está no primeiro quadrante.

Resposta

Forma retangular:
z \approx 11{,}26 \;+\; j\,15{,}15
Forma polar:
z \approx 18{,}88 \angle 53{,}59^\circ

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