Resolva as operações abaixo. Indique todos os passos usados na solução. Dê o resultado na forma polar ( \mathrm{z}= |\mathrm{z}| \angle \theta) e na forma retangular (\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{jb}).
\mathrm{z}=\left(10 \angle-225^{\circ}\right)+\left(15 \angle 50^{\circ}\right)-\left(20 \angle 30^{\circ}\right)-\left(25 \angle 0^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\mathrm{z}=\bigl(10\angle -225^\circ\bigr) + \bigl(15\angle 50^\circ\bigr) - \bigl(20\angle 30^\circ\bigr) - \bigl(25\angle 0^\circ\bigr)
e apresentar o resultado em forma retangular \mathrm{a}+j\mathrm{b} e em forma polar \bigl|\mathrm{z}\bigr|\angle\theta.
O conteúdo principal é soma e subtração de números complexos em forma polar, usando conversão para a forma retangular (via \cos e \sin) e, ao final, reconversão para a forma polar (módulo e argumento).

Passo 2

Convertemos cada termo para a forma retangular \mathrm{x}+j\mathrm{y}: \displaystyle 10\angle -225^\circ = 10\bigl[\cos(-225^\circ)+j\sin(-225^\circ)\bigr] = 10\Bigl[-\tfrac{\sqrt2}{2} + j\;\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr] = -5\sqrt2 \;+\; j\,5\sqrt2 \approx -7,07 \;+\; j\,7,07. \displaystyle 15\angle 50^\circ = 15\bigl[\cos50^\circ + j\sin50^\circ\bigr] \approx 15\,(0,6428 + j\,0,7660) \approx 9,64 \;+\; j\,11,49. \displaystyle 20\angle 30^\circ = 20\bigl[\tfrac{\sqrt3}{2} + j\,\tfrac12\bigr] = 10\sqrt3 \;+\; j\,10 \approx 17,32 \;+\; j\,10,00. \displaystyle 25\angle 0^\circ = 25\,(1 + j\,0) = 25 \;+\; j\,0.

Passo 3

Somamos e subtraímos as partes reais e imaginárias:
Parte real:
-7,07 + 9,64 \;-\;17,32 \;-\;25,00 = -39,75.
Parte imaginária:
7,07 + 11,49 \;-\;10,00 \;-\;0 = 8,56.
Logo, em forma retangular
\mathrm{z} = -39,75 \;+\; j\,8,56.

Passo 4

Para voltar à forma polar, calculamos o módulo e o argumento:
Módulo:
\bigl|\mathrm{z}\bigr| = \sqrt{(-39,75)^{2} + (8,56)^{2}} \approx \sqrt{1580,06 + 73,27} \approx 40,68.
Argumento:
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{8,56}{-39,75}\bigr).
Como a parte real é negativa e a imaginária positiva, estamos no 2.º quadrante, e \arctan(8,56/ -39,75)\approx -12,17^\circ.
Somando 180^\circ para ajustar ao 2.º quadrante:
\theta \approx 180^\circ - 12,17^\circ = 167,83^\circ.

Resposta

Forma retangular: \displaystyle \mathrm{z} = -39,75 + j\,8,56 Forma polar: \displaystyle \mathrm{z} = 40,68\angle 167,83^\circ

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