A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=1.
u_{3}(t) é a função degrau unitária deslocada de 3, isto é u_{3}(t)=u(t-3) que vale 0 para t<3 e 1 para t\ge3.
O objetivo é obter y(t) usando a transformada de Laplace e a propriedade do deslocamento temporal (função degrau).
Passo 2
Breve revisão das fórmulas de Laplace que vou usar (com explicação simples):
Denotarei por Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. A transformada de Laplace converte funções de t em funções de s e transforma derivadas em polinômios em s vezes Y(s) menos termos das condições iniciais.
Transformadas das derivadas:\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).Explicação curta: cada derivada aumenta a potência de s e aparecem subtrações com os dados iniciais; isso é útil porque incorpora a condição inicial diretamente na álgebra.
Transformada da função degrau deslocada:\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s}.E a propriedade de deslocamento no domínio do tempo (fórmula inversa útil):\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=u(t-a)\,f(t-a),onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Isso significa: fatores e^{-a s} representam “ligar” a função a partir de t=a.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação inteira. Tomando \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados:
É conveniente inverter cada parcela separadamente: a primeira parcela não tem fator exponencial (é a parte que vem das condições iniciais), a segunda tem e^{-3s} que indica um termo que aparece somente para t\ge3.
Passo 5
Inverto a primeira parcela diretamente. Conheço que
\mathcal{L}\{t e^{-t}\}=\frac{1}{(s+1)^{2}}.
Logo a parte correspondente no tempo é
y_{1}(t)=t e^{-t}.
Explicação intuitiva: essa é a resposta livre (homogênea) gerada pelas condições iniciais e pelo operador (D+1)^{2}.
Passo 6
Para a segunda parcela uso a propriedade de deslocamento. Defino
F(s)=\frac{1}{s(s+1)^{2}},
de modo que a segunda parcela é e^{-3s}F(s)\). Então preciso calcular \(f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\). Vou decompor \(F(s)\) em frações parciais. Procuro constantes \(A,B,C\) tais que
\[\frac{1}{s(s+1)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+1)^{2} obtemos a identidade polinomial
1=A(s+1)^{2}+B s(s+1)+C s.
Expando e coleto coeficientes: a forma expandida é
1=(A+B)s^{2}+(2A+B+C)s+A.
Igualando coeficientes com o polinômio constante 1 (ou seja 0\cdot s^{2}+0\cdot s+1) obtemos o sistema
Esta expressão é válida para todo t. Para t<3 a função degrau é zero e y(t)=t e^{-t}. Para t\ge3 aparece a contribuição adicional da força aplicada a partir de t=3.