O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a função f(t) usando o degrau unitário; (2) calcular a transformada de Laplace de f(t).
As informações dadas são:
f(t)=\sin(t) para 0\le t<\pi.
f(t)=0 para t\ge\pi.
Não há informação sobre t<0, então entendemos f(t)=0 para t<0 (função ativada em t=0).
Passo 2
Definição e ideia do degrau unitário: o degrau unitário (função de Heaviside) é \;u(t-a)\;=\;\begin{cases}0,&t<a\\\ 1,&t\ge a\end{cases}. Isso serve para “ligar” ou “desligar” uma função a partir de um instante a.
Para representar f(t) que vale \sin t entre 0 e \pi e vale 0 fora, a forma natural é multiplicar \sin t por uma janela formada por u(t) menos u(t-\pi). Assim, escrevemos
f(t)=\sin(t)\bigl(u(t)-u(t-\pi)\bigr).
Explicando: para t<0 ambos os degraus são zero, então f(t)=0; para 0\le t<\pi temos u(t)=1 e u(t-\pi)=0 então f(t)=\sin t; para t\ge\pi os dois degraus são 1 e a diferença é zero, então f(t)=0. Esta expressão atende exatamente ao enunciado.
Passo 3
Estratégia para a transformada de Laplace: usar linearidade da transformada e a propriedade de deslocamento no tempo. Relembrando as fórmulas importantes: