Um circuito elétrico RL tem sua corrente descrita pela equação diferencial:
onde
é a força eletromotriz aplicada ao circuito. Resolva a equação diferencial utilizando a transformada de Laplace para o caso onde
, e a corrente inicial
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de primeira ordem
com os dados:
-
, -
, -
, - corrente inicial
.
O que se pede: resolver a equação diferencial utilizando a transformada de Laplace e encontrar
para
.
Passo 2
Breve revisão da transformada de Laplace (útil para a prova, sem pânico):
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
- Propriedades que usaremos:
- Linearidade:
. - Derivada:
, onde .
- Linearidade:
- Transformada padrão útil: para
real,
Essas são as ferramentas que vamos aplicar passo a passo.
Passo 3
Escrever a equação com os valores numéricos e aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Com
e
a equação fica
Denotando
, aplicar
:
- para
: . - para
: . - para
: .
Como
, temos
Passo 4
Isolar
(algebra simples):
logo
Agora precisamos inverter essa transformada. Para isso fazemos decomposição em frações parciais.
Passo 5
Decompor
em frações simples:
procuramos tais que
procuramos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Escolhendo valores convenientes de
:
- Para
: . - Para
: .
Portanto
Passo 6
Aplicar a transformada inversa usando a tabela básica
. Assim,
Podemos também escrever de forma factorizada:
Passo 7
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
- Condição inicial:
(ok). - Substituir na equação original para checar: calcular
. Então
que é exatamente
. Tudo confere.