Um circuito elétrico RL tem sua corrente descrita pela equação diferencial:
L \frac{d i(t)}{d t}+\operatorname{Ri}(t)=E(t)
onde E(t) é a força eletromotriz aplicada ao circuito. Resolva a equação diferencial utilizando a transformada de Laplace para o caso onde L=1 \mathrm{H}, R=2 \Omega, E(t)=4 e^{-t}, e a corrente inicial i(0)=0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de primeira ordem
L\frac{d i(t)}{d t}+\operatorname{R}i(t)=E(t)
com os dados:
  • L=1\\ \mathrm{H},
  • R=2\\ \Omega,
  • E(t)=4e^{-t},
  • corrente inicial i(0)=0.
O que se pede: resolver a equação diferencial utilizando a transformada de Laplace e encontrar i(t) para t\ge 0.

Passo 2

Breve revisão da transformada de Laplace (útil para a prova, sem pânico):
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Propriedades que usaremos:
    1. Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
    2. Derivada: \mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=sF(s)-f(0), onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
  • Transformada padrão útil: para a real,
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\frac{1}{s+a},\quad \text{para } \Re(s)>-a.
Essas são as ferramentas que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Escrever a equação com os valores numéricos e aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Com L=1 e R=2 a equação fica
\frac{d i(t)}{d t}+2\,i(t)=4e^{-t}.
Denotando I(s)=\mathcal{L}\{i(t)\}(s), aplicar \mathcal{L}\{\cdot\}:
  • para \dfrac{d i}{d t}: \mathcal{L}\{i'(t)\}=sI(s)-i(0).
  • para 2i(t): 2I(s).
  • para 4e^{-t}: 4\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\dfrac{4}{s+1}.
Como i(0)=0, temos
sI(s)-0 + 2I(s)=\frac{4}{s+1}.

Passo 4

Isolar I(s) (algebra simples):
(s+2)I(s)=\frac{4}{s+1}
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I(s)=\frac{4}{(s+1)(s+2)}.
Agora precisamos inverter essa transformada. Para isso fazemos decomposição em frações parciais.

Passo 5

Decompor \dfrac{4}{(s+1)(s+2)} em frações simples:
procuramos A,B tais que
\frac{4}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2) obtemos
4=A(s+2)+B(s+1).
Escolhendo valores convenientes de s:
  • Para s=-1: 4=A(1)+B(0)\Rightarrow A=4.
  • Para s=-2: 4=A(0)+B(-1)\Rightarrow B=-4.
Portanto
I(s)=\frac{4}{s+1}-\frac{4}{s+2}.

Passo 6

Aplicar a transformada inversa usando a tabela básica \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}. Assim,
i(t)=\mathcal{L}^{-1}\{I(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{s+1}\right\}-\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{s+2}\right\} =4e^{-t}-4e^{-2t}.
Podemos também escrever de forma factorizada:
i(t)=4\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr),\qquad t\ge 0.

Passo 7

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Condição inicial: i(0)=4(1-1)=0 (ok).
  • Substituir na equação original para checar: calcular i'(t)=-4e^{-t}+8e^{-2t}. Então
i'(t)+2i(t)=(-4e^{-t}+8e^{-2t})+2(4e^{-t}-4e^{-2t})=4e^{-t},
que é exatamente E(t). Tudo confere.

Resposta

i(t)=4\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr),\qquad t\ge 0.

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