Resolva as seguintes EDOs utilizando transformada de Laplace.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem homogênea com condições iniciais. As informações dadas são:
  • A EDO: y''-5y'+4y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=2,\qquad y'(0)=2.
A tarefa é encontrar y(t) usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Vou relembrar a definição e fórmulas que vou usar (explicando o porquê delas).
  • A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida por
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt.
  • A transformada é linear: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Fórmulas importantes para derivadas (essas vêm de integrar por partes; são usadas sempre que aplicamos Laplace em EDOs com condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui Y(s) é a transformada de y(t), e y(0),y'(0) são as condições iniciais que aparecem naturalmente nessas fórmulas. Essas fórmulas transformam a EDO em uma equação algébrica em s.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Usando as fórmulas das derivadas:
\mathcal{L}\{y''\}-5\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo cada termo:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-5\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+4Y(s)=0.
Agora insiro as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=2:
\bigl(s^{2}Y(s)-2s-2\bigr)-5\bigl(sY(s)-2\bigr)+4Y(s)=0.

Passo 4

Faço a álgebra para isolar Y(s). Primeiro distribuo os termos:
s^{2}Y(s)-2s-2-5sY(s)+10+4Y(s)=0.
Agrupo os termos que contêm Y(s) e os termos constantes:
\bigl(s^{2}-5s+4\bigr)Y(s)+(-2s-2+10)=0.
Simplifico os constantes -2s-2+10=-2s+8. Assim:
\bigl(s^{2}-5s+4\bigr)Y(s)-2s+8=0.
Isolando Y(s):
\bigl(s^{2}-5s+4\bigr)Y(s)=2s-8, \qquad\text{logo}\qquad Y(s)=\frac{2s-8}{s^{2}-5s+4}.

Passo 5

Faço fatoração e simplificação da fração racional. O polinômio do denominador fatoriza:
s^{2}-5s+4=(s-1)(s-4).
O numerador também pode ser fatorado:
2s-8=2(s-4).
Portanto
Y(s)=\frac{2(s-4)}{(s-1)(s-4)}.
Como há um fator comum (s-4) no numerador e no denominador, podemos cancelar (válido como manipulação algébrica para s\neq4, e corresponde ao fato de que a componente exponencial associada a s=4 tem coeficiente zero na solução):
Y(s)=\frac{2}{s-1}.
Observação didática: quando ao aplicar Laplace obtemos cancelamento de fator comum isso significa que a contribuição daquele pólo foi anulada pelas condições iniciais (a constante multiplicadora daquele modo é zero). Aqui isso já indica que só resta a parte associada a s=1.

Passo 6

Agora faço a transformada inversa. Uso a tabela básica de Laplace: \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}. Assim,
Y(s)=\frac{2}{s-1}\quad\Longrightarrow\quad y(t)=2\,e^{t}.
Explicando: \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-1}\}=e^{t}, multiplicando por 2 sai 2e^{t}.

Passo 7

Faço uma checagem rápida para ficar sossegado: se y(t)=2e^{t}, então y'(t)=2e^{t} e y''(t)=2e^{t}. Substituindo na EDO:
y''-5y'+4y = 2e^{t}-5(2e^{t})+4(2e^{t})=2e^{t}(-5+4+1)=0,
e as condições iniciais dão y(0)=2, y'(0)=2. Está tudo consistente.

Resposta

y(t)=2e^{t}

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