Resolva as seguintes EDOs utilizando transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem homogênea com condições iniciais. As informações dadas são:
- A EDO:
- Condições iniciais:
A tarefa é encontrar
usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Vou relembrar a definição e fórmulas que vou usar (explicando o porquê delas).
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
- A transformada é linear:
. - Fórmulas importantes para derivadas (essas vêm de integrar por partes; são usadas sempre que aplicamos Laplace em EDOs com condições iniciais):
Aqui
é a transformada de
, e
são as condições iniciais que aparecem naturalmente nessas fórmulas. Essas fórmulas transformam a EDO em uma equação algébrica em
.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Usando as fórmulas das derivadas:
Substituindo cada termo:
Agora insiro as condições iniciais
e
:
Passo 4
Faço a álgebra para isolar
. Primeiro distribuo os termos:
Agrupo os termos que contêm
e os termos constantes:
Simplifico os constantes
. Assim:
Isolando
:
Passo 5
Faço fatoração e simplificação da fração racional. O polinômio do denominador fatoriza:
O numerador também pode ser fatorado:
Portanto
Como há um fator comum
no numerador e no denominador, podemos cancelar (válido como manipulação algébrica para
, e corresponde ao fato de que a componente exponencial associada a
tem coeficiente zero na solução):
Observação didática: quando ao aplicar Laplace obtemos cancelamento de fator comum isso significa que a contribuição daquele pólo foi anulada pelas condições iniciais (a constante multiplicadora daquele modo é zero). Aqui isso já indica que só resta a parte associada a
.
Passo 6
Agora faço a transformada inversa. Uso a tabela básica de Laplace:
. Assim,
Explicando:
, multiplicando por
sai
.
Passo 7
Faço uma checagem rápida para ficar sossegado: se
, então
e
. Substituindo na EDO:
e as condições iniciais dão
,
. Está tudo consistente.