Resolva as seguintes EDOs utilizando transformada de Laplace.
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+10 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária com condições iniciais usando transformada de Laplace. Especificando claramente o que foi dado e pedido:
  • EDO: y'' - 7y' + 10y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=2,\qquad y'(0)=-1.
O objetivo: encontrar a função \,y(t)\, que satisfaz a EDO e essas condições, usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Breve revisão da ferramenta que usaremos (transformada de Laplace), de forma direta e aplicada:
  • Definição: para uma função f(t) (para t\ge0), a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática tratamos s como uma variável real maior que certo valor).
  • Propriedades úteis (e as que vamos usar): para y(t) com transformada Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\},
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Essas fórmulas transformam derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s), o que converte a EDO em uma equação algébrica em Y(s). Depois resolvemos para Y(s) e aplicamos a transformada inversa para obter y(t).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos:
\mathcal{L}\{y''\}-7\mathcal{L}\{y'\}+10\mathcal{L}\{y\}=0.
Usando as fórmulas das derivadas:
\bigl(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)\bigr)-7\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+10Y(s)=0.
Agora substituímos as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1:
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot 2 -(-1)\bigr)-7\bigl(sY(s)-2\bigr)+10Y(s)=0.

Passo 4

Simplificar a expressão algébrica em Y(s). Primeiro expandir os termos:
s^2Y(s)-2s+1 -7sY(s)+14 +10Y(s)=0.
Agrupando os termos que multiplicam Y(s) e os termos independentes:
\bigl(s^2-7s+10\bigr)Y(s) +(-2s+1+14)=0.
Somando os constantes do segundo grupo:
\bigl(s^2-7s+10\bigr)Y(s) +(-2s+15)=0.
Isolando Y(s):
\bigl(s^2-7s+10\bigr)Y(s)=2s-15,
portanto
Y(s)=\frac{2s-15}{s^2-7s+10}.

Passo 5

Fatorar o denominador e preparar para frações parciais. Observe que
s^2-7s+10=(s-5)(s-2).
Assim
Y(s)=\frac{2s-15}{(s-5)(s-2)}.
Vamos decompor em frações parciais na forma
\frac{2s-15}{(s-5)(s-2)}=\frac{A}{s-5}+\frac{B}{s-2},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 6

Calcular A e B. Multiplicando ambos os lados por (s-5)(s-2) obtemos
2s-15 = A(s-2)+B(s-5).
Para encontrar A e B rapidamente, avaliar em pontos convenientes:
  • Para s=5:
2\cdot 5 -15 = -5 = A(5-2)=3A \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{5}{3}.
  • Para s=2:
2\cdot 2 -15 = -11 = B(2-5)= -3B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{11}{3}.
Logo a decomposição é
Y(s)=-\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{s-5}+\frac{11}{3}\cdot\frac{1}{s-2}.

Passo 7

Invertendo a transformada de Laplace usando tabelas básicas. A regra padrão que usamos é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Aplicando termo a termo:
y(t)= -\frac{5}{3}e^{5t} + \frac{11}{3}e^{2t}.
Sempre é bom checar rapidamente as condições iniciais para ter confiança no resultado:
  • Em t=0: y(0)=-\frac{5}{3}+\frac{11}{3}=\frac{6}{3}=2 — confere.
  • Derivando y: y'(t)=-\frac{5}{3}\cdot 5 e^{5t} + \frac{11}{3}\cdot 2 e^{2t}. Em t=0: y'(0)=-\frac{25}{3}+\frac{22}{3}=-\frac{3}{3}=-1 — confere.

Resposta

y(t)=-\dfrac{5}{3}e^{5t}+\dfrac{11}{3}e^{2t}

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