Um sistema massa-mola está sujeito a uma força externa
que varia com o tempo de acordo com a função
. O movimento da massa é descrito pela equação diferencial
onde
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento, e
é a constante da mola.
Suponha que
, e
. Com essas simplificações, a equação diferencial que descreve o sistema é dada por
a) Determine a solução geral para a equação diferencial acima.
b) Discuta o comportamento do sistema ao longo do tempo, levando em consideração a influência da força externa e a ausência de constante da mola
.
Suponha que
b) Discuta o comportamento do sistema ao longo do tempo, levando em consideração a influência da força externa e a ausência de constante da mola
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A força externa é
. - A equação diferencial, com
, e , é
- O enunciado pede:
(a) Determinar a solução geral da equação diferencial.
(b) Discutir o comportamento temporal do sistema considerando a força externa e.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar (transiente).
- A equação homogênea é
- Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
- Resolver
dá
- Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais.
Explicação curta do porquê: a raiz
gera modo constante
(uma componente não oscilatória) e a raiz
gera um modo exponencial decrescente
— este último é um transiente amortecido.
Passo 3
Determinar uma solução particular [y_p(t)) para a equação não-homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados.
- A força no lado direito é combinação linear de
e . Para esse tipo de termo é natural tentar
com
constantes a determinar. (Explicação: derivadas de
e
fecham entre si, então uma combinação linear é suficiente, desde que nenhuma parte da forma proposta seja solução da homogênea. Aqui a homogênea não contém
nem
, então esse palpite funciona diretamente.)
- Calcular derivadas:
- Substituir na equação:
Agrupando termos em
e
:
- Esse resultado deve igualar
. Logo equacionamos os coeficientes:
Agora resolvemos o sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Portanto
.
- Assim a solução particular é
Passo 4
Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral.
- A solução geral da equação é soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes que dependem de condições iniciais.
- Observação prática de como encontrar
a partir de condições iniciais e :
Calculee então . Daí e . (Exemplo: para , obtém-se , e .)
Passo 5
Discutir o comportamento temporal do sistema (resposta à letra b), com interpretação física.
-
Componentes da solução:
-
é o termo transiente: decai exponencialmente com constante de tempo . Esse termo representa o efeito inicial (dependente de condições iniciais) que é amortecido pelo coeficiente . -
é um deslocamento constante (modo de frequência zero) que permanece indefinidamente porque não há força restauradora (a mola foi retirada: ). Fisicamente, sem mola não existe posição de equilíbrio forçada pela mola: a posição pode ter um offset constante determinado pelas condições iniciais. -
é a resposta forçada permanente (regime estacionário) à perturbação periódica . É um movimento periódico com amplitude e fase tal que o sinal é . Esse termo não decai porque é sustentado pela força externa.
-
-
Comportamento para
: - O termo
. O transiente amortecido desaparece. - Resta o regime permanente
: uma oscilação periódica de amplitude centrada em um deslocamento constante . - Portanto a solução é limitada no tempo (não diverge) e é composta por uma oscilação forçada mais um deslocamento constante que depende das condições iniciais.
- O termo
-
Comentários físicos e contrastes:
- A ausência de mola (
) elimina qualquer frequência natural de oscilação da massa-mola; o sistema não possui comportamento oscilatório livre (não há gerado pela mola). Em vez disso aparece um modo estático (constante). - O amortecimento
garante que todos os transientes de velocidade se apaguem exponencialmente; apenas a resposta forçada (sustentada pela força) e o deslocamento constante permanecem. - Se
fosse zero (sem amortecimento) com , a equação seria e a integração poderia gerar termos levando a crescimento não limitado; portanto o amortecimento aqui é fundamental para evitar crescimento secular.
- A ausência de mola (
Resposta
(a)
(b) O termo
é um transiente amortecido que tende para
. Para
a solução tende para
: uma oscilação periódica de amplitude
(resposta forçada) centrada num deslocamento constante
(modo de frequência zero devido a
). O amortecimento faz desaparecer os transientes; a ausência da mola impede qualquer frequência própria e deixa um deslocamento constante determinado pelas condições iniciais.