Um sistema massa-mola está sujeito a uma força externa F(t) que varia com o tempo de acordo com a função F(t)=2 \operatorname{sen}(t)+\cos (t). O movimento da massa é descrito pela equação diferencial
m \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+c \frac{d y(t)}{d t}+k y(t)=F(t),
onde m é a massa, c é o coeficiente de amortecimento, e k é a constante da mola.
Suponha que m=1, c=2, e k=0. Com essas simplificações, a equação diferencial que descreve o sistema é dada por
\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+2 \frac{d y(t)}{d t}=2 \operatorname{sen}(t)+\cos (t) .
a) Determine a solução geral para a equação diferencial acima.
b) Discuta o comportamento do sistema ao longo do tempo, levando em consideração a influência da força externa e a ausência de constante da mola (k=0).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A força externa é F(t)=2\sin(t)+\cos(t).
  • A equação diferencial, com m=1, c=2 e k=0, é
\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+2\frac{dy(t)}{dt}=2\sin(t)+\cos(t).
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar a solução geral da equação diferencial.
    (b) Discutir o comportamento temporal do sistema considerando a força externa e k=0.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar (transiente).
  • A equação homogênea é
\frac{d^{2}y_h}{dt^{2}}+2\frac{dy_h}{dt}=0.
  • Procuramos soluções da forma y_h(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+2r=0.
  • Resolver r^{2}+2r=0
r(r+2)=0\quad\Rightarrow\quad r=0,\\\ -2.
  • Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_{1}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais.
Explicação curta do porquê: a raiz r=0 gera modo constante C_1 (uma componente não oscilatória) e a raiz r=-2 gera um modo exponencial decrescente C_2 e^{-2t} — este último é um transiente amortecido.

Passo 3

Determinar uma solução particular [y_p(t)) para a equação não-homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados.
  • A força no lado direito é combinação linear de \sin(t) e \cos(t). Para esse tipo de termo é natural tentar
y_p(t)=a\cos(t)+b\sin(t),
com a,b constantes a determinar. (Explicação: derivadas de \cos e \sin fecham entre si, então uma combinação linear é suficiente, desde que nenhuma parte da forma proposta seja solução da homogênea. Aqui a homogênea não contém \sin nem \cos, então esse palpite funciona diretamente.)
  • Calcular derivadas:
\frac{dy_p}{dt}=-a\sin(t)+b\cos(t),
\frac{d^{2}y_p}{dt^{2}}=-a\cos(t)-b\sin(t).
  • Substituir na equação:
\frac{d^{2}y_p}{dt^{2}}+2\frac{dy_p}{dt}=(-a\cos t - b\sin t)+2(-a\sin t + b\cos t).
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
(-a+2b)\cos t + (-b-2a)\sin t.
  • Esse resultado deve igualar 2\sin t + \cos t. Logo equacionamos os coeficientes:
\begin{cases} -a + 2b = 1,\\[4pt] -b - 2a = 2. \end{cases}
Agora resolvemos o sistema. Da primeira equação:
a = 2b - 1.
Substituindo na segunda:
-(b) - 2(2b-1) = 2 \quad\Rightarrow\quad -b -4b +2 = 2 \quad\Rightarrow\quad -5b +2 =2.
Portanto -5b=0\] e assim \[b=0.\] Então \(a=2\cdot 0 -1 = -1.
  • Assim a solução particular é
y_p(t)=-\cos t.]

Passo 4

Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral.
  • A solução geral da equação é soma da solução homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_{1}+C_{2}e^{-2t}-\cos t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes que dependem de condições iniciais.
  • Observação prática de como encontrar C_{1},C_{2} a partir de condições iniciais y(0)=y_0 e y'(0)=v_0:
    Calcule y(0)=C_{1}+C_{2}-1=y_0 e y'(t)=-2C_{2}e^{-2t}+\sin t então y'(0)=-2C_{2}+0=v_0. Daí C_{2}=-\dfrac{v_0}{2} e C_{1}=y_0 - C_{2}+1. (Exemplo: para y_0=0, v_0=0 obtém-se C_2=0, C_1=1 e y(t)=1-\cos t.)

Passo 5

Discutir o comportamento temporal do sistema (resposta à letra b), com interpretação física.
  • Componentes da solução:
    • C_{2}e^{-2t} é o termo transiente: decai exponencialmente com constante de tempo 1/2. Esse termo representa o efeito inicial (dependente de condições iniciais) que é amortecido pelo coeficiente c=2.
    • C_{1} é um deslocamento constante (modo de frequência zero) que permanece indefinidamente porque não há força restauradora (a mola foi retirada: k=0). Fisicamente, sem mola não existe posição de equilíbrio forçada pela mola: a posição pode ter um offset constante determinado pelas condições iniciais.
    • -\cos t é a resposta forçada permanente (regime estacionário) à perturbação periódica 2\sin t+\cos t. É um movimento periódico com amplitude 1 e fase tal que o sinal é -\cos t. Esse termo não decai porque é sustentado pela força externa.
  • Comportamento para t\to\infty:
    • O termo C_{2}e^{-2t}\to 0. O transiente amortecido desaparece.
    • Resta o regime permanente y(t)\to C_{1}-\cos t: uma oscilação periódica de amplitude 1 centrada em um deslocamento constante C_{1}.
    • Portanto a solução é limitada no tempo (não diverge) e é composta por uma oscilação forçada mais um deslocamento constante que depende das condições iniciais.
  • Comentários físicos e contrastes:
    • A ausência de mola ( k=0) elimina qualquer frequência natural de oscilação da massa-mola; o sistema não possui comportamento oscilatório livre (não há \sin(\omega_0 t) gerado pela mola). Em vez disso aparece um modo estático (constante).
    • O amortecimento c>0 garante que todos os transientes de velocidade se apaguem exponencialmente; apenas a resposta forçada (sustentada pela força) e o deslocamento constante permanecem.
    • Se c fosse zero (sem amortecimento) com k=0, a equação seria y''=2\sin t+\cos t e a integração poderia gerar termos \propto t levando a crescimento não limitado; portanto o amortecimento aqui é fundamental para evitar crescimento secular.

Resposta

(a) \displaystyle y(t)=C_{1}+C_{2}e^{-2t}-\cos t.
(b) O termo C_{2}e^{-2t} é um transiente amortecido que tende para 0. Para t\to\infty a solução tende para y(t)\to C_{1}-\cos t: uma oscilação periódica de amplitude 1 (resposta forçada) centrada num deslocamento constante C_{1} (modo de frequência zero devido a k=0). O amortecimento faz desaparecer os transientes; a ausência da mola impede qualquer frequência própria e deixa um deslocamento constante determinado pelas condições iniciais.

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