Resolva as equações diferenciais ordinárias de
ordem lineares não-homogêneas utilizando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Enunciado e o que se pede (peguei tudo do enunciado): resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Ou seja, encontrar a solução geral
da equação diferencial dada.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes.
- O segundo membro (termo não-homogêneo) é a função constante
. - O objetivo é obter a solução geral
, onde é solução da equação homogênea associada e é uma solução particular.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada. Primeiro escrevemos a equação homogênea:
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Supondo
obtemos a equação característica
Vamos resolver essa quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculando:
Passo 3
Interpretação das raízes complexas e forma da solução homogênea. Quando as raízes da característica são
(com
e
), a solução geral real da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (fixadas pelas condições iniciais, se houver). Aqui
e
. Portanto
Explicando em palavras: a parte
vem do decaimento exponencial (
) e as funções seno e cosseno aparecem por causa da parte imaginária (
), dando um comportamento oscilatório amortecido.
Passo 4
Escolher uma forma de tentativa para a solução particular
pelo método dos coeficientes a determinar. O segundo membro é a constante
. Para termos constantes costuma-se tentar uma solução particular constante também:
onde
é constante a determinar. Antes de substituir, verificamos se há ressonância: isso aconteceria se
fosse raiz da equação característica (porque
corresponde a soluções constantes da homogênea). A equação característica tem raízes
, portanto
não é raiz e não há ressonância — a escolha
é apropriada.
Passo 5
Determinar
substituindo
na equação original. Como
é constante, tem derivadas nulas:
Substituindo em
obtemos
Assim
Logo uma solução particular é
Passo 6
Escrever a solução geral somando a homogênea e a particular. A solução geral da equação não-homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.