Resolva as equações diferenciais ordinárias de 2 \underline{\underline{a}} ordem lineares não-homogêneas utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=2

Passo 1

Enunciado e o que se pede (peguei tudo do enunciado): resolver a equação diferencial
y''+2y'+2y=2
usando o método dos coeficientes a determinar. Ou seja, encontrar a solução geral y(x) da equação diferencial dada.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes.
  • O segundo membro (termo não-homogêneo) é a função constante 2.
  • O objetivo é obter a solução geral y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é solução da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada. Primeiro escrevemos a equação homogênea:
y''+2y'+2y=0.
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Supondo y=e^{r x} obtemos a equação característica
r^{2}+2r+2=0.
Vamos resolver essa quadrática. O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculando:
r = \frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2} = \frac{-2\pm 2i}{2} = -1\pm i.

Passo 3

Interpretação das raízes complexas e forma da solução homogênea. Quando as raízes da característica são r=\alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R} e \beta\neq0), a solução geral real da homogênea é
y_h(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (fixadas pelas condições iniciais, se houver). Aqui \alpha=-1 e \beta=1. Portanto
y_h(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big).
Explicando em palavras: a parte e^{-x} vem do decaimento exponencial ( \alpha=-1) e as funções seno e cosseno aparecem por causa da parte imaginária ( \beta=1), dando um comportamento oscilatório amortecido.

Passo 4

Escolher uma forma de tentativa para a solução particular y_p pelo método dos coeficientes a determinar. O segundo membro é a constante 2. Para termos constantes costuma-se tentar uma solução particular constante também:
y_p(x)=A,
onde A é constante a determinar. Antes de substituir, verificamos se há ressonância: isso aconteceria se r=0 fosse raiz da equação característica (porque e^{0x}=1 corresponde a soluções constantes da homogênea). A equação característica tem raízes r=-1\pm i, portanto r=0 não é raiz e não há ressonância — a escolha y_p=A é apropriada.

Passo 5

Determinar A substituindo y_p na equação original. Como y_p=A é constante, tem derivadas nulas:
y_p'=0,\qquad y_p''=0.
Substituindo em \;y''+2y'+2y=2\; obtemos
0 + 2\cdot0 + 2A = 2.
Assim
2A=2 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Logo uma solução particular é
y_p(x)=1.

Passo 6

Escrever a solução geral somando a homogênea e a particular. A solução geral da equação não-homogênea é
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big)+1,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.

Resposta

y(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big)+1

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