Resolver o problema misto

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um problema misto para a equação da onda em 1D:
utt=a,uxx,&00, u(0,t)=0,;u(pi,t)=0,&t>=0, u(x,0)=f(x),;ut(x,0)=g(x)
Conteúdo: equação da onda, método de separação de variáveis e séries de Fourier.
O que vamos usar:
  1. separar a dependência em e ,
  2. resolver o problema de valor próprio em ,
  3. montar a série de Fourier em senos para as condições iniciais.

Passo 2

A ideia é supor utt=X(x),T''(t) e uxx=X''(x),T(t) .
Então
T''(t)a,T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
Substituindo em e dividindo por , dá
onde é a constante de separação (tem que ser real pra fazermos autovalores).

Passo 3

O “lado X''(x)+lambda,X(x)=0, X(0)=0,;X(pi)=0 ” vira o problema de valor próprio
Xn(x)=sin(nx)
Solução não-trivial só existe para ( ), e os autofuncionais são

Passo 4

O “lado T''(t)+a,lambdan,T(t)=T''(t)+a,n^2,T(t)=0 ” fica
Tn(t)=Ancos(nraiza,t)+Bnsin(nraiza,t)
É uma ODE harmônica:
u(x,t)=sumn=1^inftyl[Ancos(nraiza,t)+Bnsin(nraiza,t)r]sin(nx)
Logo, a solução geral é soma das modas

Passo 5

Faltam sumn=1^infty Ansin(nx)=f(x) e An=2piintegral0^pif(x),sin(nx),dx . Usamos as condições iniciais:
  1. ut(x,t)=sumn=1^inftyl[-An,nraiza,sin(nraiza,t) +Bn,nraiza,cos(nraiza,t)r]sin(nx)
sumn=1^infty nraiza,Bnsin(nx)=g(x) ;Longrightarrow; Bn=2nraiza,piintegral0^pig(x),sin(nx),dx
Como é base ortogonal em ,
  1. . Calculando :
Em :

Resposta

A solução do problema misto é
boxed u(x,t) =sumn=1^infty l[ l(tfrac2pi!integral0^pi f(s)sin(ns),dsr)cos(nraiza,t) +l(tfrac2nraiza,pi!integral0^pi g(s)sin(ns),dsr)sin(nraiza,t) r]sin(nx)

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