Resolver o problema misto
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um problema misto para a equação da onda em 1D:
Conteúdo: equação da onda, método de separação de variáveis e séries de Fourier.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- separar a dependência em
e , - resolver o problema de valor próprio em
, - montar a série de Fourier em senos para as condições iniciais.
Passo 2
A ideia é supor
utt=X(x),T''(t) e uxx=X''(x),T(t) .
Então
Então
Substituindo em
e dividindo por
, dá
onde
é a constante de separação (tem que ser real pra fazermos autovalores).
Passo 3
O “lado
X''(x)+lambda,X(x)=0, X(0)=0,;X(pi)=0 ” vira o problema de valor próprio
Solução não-trivial só existe para
(
), e os autofuncionais são
Passo 4
O “lado
T''(t)+a,lambdan,T(t)=T''(t)+a,n^2,T(t)=0 ” fica
É uma ODE harmônica:
Logo, a solução geral é soma das modas
Passo 5
Faltam
sumn=1^infty Ansin(nx)=f(x) e
An=2piintegral0^pif(x),sin(nx),dx . Usamos as condições iniciais:
-
dáut(x,t)=sumn=1^inftyl[-An,nraiza,sin(nraiza,t) +Bn,nraiza,cos(nraiza,t)r]sin(nx)
Como
é base ortogonal em
,
-
. Calculando :
Em
:
Resposta
A solução do problema misto é