calcular a soma da série
sumn=1^infty (n^2-6n^2)^2n^4

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a soma da série
sumn=1^infty l(n^2-tfrac6n^2r)^2n^4
Isso cai em “conteúdo de séries numéricas” e, em especial, a “condição necessária de convergência” (às vezes chamada de teste da divergência). Para resolver, a gente vai:
  1. Simplificar o termo geral;
  2. Verificar o comportamento desse termo quando ;
  3. Usar o teste da divergência (se o termo não tende a zero, a soma diverge).

Passo 2

Primeiro, simplifica o quadrado no numerador:
l(n^2-tfrac6n^2r)^2 = n^4 -2cdot n^2cdot6n^2 + 36n^4 = n^4 -12 + 36n^4
Agora divide tudo por n^4 -12 + tfrac36n^4n^4 = 1 - 12n^4 + 36n^8 :
an = 1 - 12n^4 + 36n^8
Então o termo geral da série vira

Passo 3

Para uma série limntoinfty l(1 - tfrac12n^4 + tfrac36n^8r) = 1 - 0 + 0 = 1 convergir, é necessário que quando . Vamos olhar o limite de :
Como o termo geral não tende a zero (tende a 1!), a série não satisfaz a condição mínima para convergir.

Passo 4

Aplicando o teste da divergência:
Se , então diverge. Aqui , logo a soma “vai para infinito”.

Resposta

A série diverge; a soma é infinita.

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