Resultados experimentais mostram que o equilíbrio líquido-vapor do sistema acetona/acetonitrila é representado satisfatoriamente pela lei de Raoult. As pressões de vapor de cada componente são expressas em função da temperatura pela equação de Antoine na tabela a seguir.
\ln P_{i}^{s a t}(k P a)=A-\frac{B}{C+T\left({ }^{\circ} C\right)}
Componente \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}
Acetona (1) 14,372 2787,49 229,66
Acetonitrila (2) 14,885 3413,09 250,52

Determine:

a) Para \mathrm{T}=50^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{y}_{1}=0,60; obtenha \mathrm{Pe} \mathrm{x}_{1}

Passo 1

O enunciado pede, para \,T=50^\circ\mathrm{C} e \,y_{1}=0{,}60, que se encontre a pressão de equilíbrio \mathrm{Pe} e a fração molar líquida \,x_{1} do componente 1 (acetona). As informações fornecidas (pegaram-se da tabela do enunciado) são os parâmetros de Antoine para cada componente na forma
\ln P_{i}^{sat}(\text{kPa}) = A_i - \frac{B_i}{C_i + T(^{\circ}\mathrm{C})}.
Os parâmetros são:
  • Acetona (1): \;A_{1}=14{,}372,\; B_{1}=2787{,}49,\; C_{1}=229{,}66.
  • Acetonitrila (2): \;A_{2}=14{,}885,\; B_{2}=3413{,}09,\; C_{2}=250{,}52.
O que se deve entregar: \mathrm{Pe} (pressão total de equilíbrio) e \,x_{1} (fração molar líquida do componente 1).

Passo 2

Calcular as pressões de vapor saturado \,P_{1}^{sat} e \,P_{2}^{sat} à temperatura dada usando a equação de Antoine. Explico a fórmula: na equação
\ln P_{i}^{sat} = A_{i} - \frac{B_{i}}{C_{i}+T},
  • \,P_{i}^{sat} é a pressão de vapor de referência do componente i em kPa;
  • \,A_{i},B_{i},C_{i} são constantes dadas (na tabela);
  • \,T é a temperatura em {}^\circ\mathrm{C}.
    Substituindo T=50^\circ\mathrm{C}:
Para o componente 1 (acetona):
C_{1}+T = 229{,}66 + 50 = 279{,}66,
\frac{B_{1}}{C_{1}+T} = \frac{2787{,}49}{279{,}66}\approx 9{,}96635,
\ln P_{1}^{sat} = 14{,}372 - 9{,}96635 \approx 4{,}40565,
P_{1}^{sat} = \exp(4{,}40565) \approx 81{,}90\\ \text{kPa}.
Para o componente 2 (acetonitrila):
C_{2}+T = 250{,}52 + 50 = 300{,}52,
\frac{B_{2}}{C_{2}+T} = \frac{3413{,}09}{300{,}52}\approx 11{,}35728,
\ln P_{2}^{sat} = 14{,}885 - 11{,}35728 \approx 3{,}52772,
P_{2}^{sat} = \exp(3{,}52772) \approx 34{,}03\\ \text{kPa}.
Resumo numérico obtido: \;P_{1}^{sat}\approx 81{,}90\\ \text{kPa},\;P_{2}^{sat}\approx 34{,}03\\ \text{kPa}.

Passo 3

Explicar a lei de Raoult e a relação entre frações molares líquido/vapor: para uma mistura ideal (Raoult),
p_{i} = x_{i}\,P_{i}^{sat},
onde \,p_{i} é a pressão parcial do componente i na fase vapor e \,x_{i} a fração molar na fase líquida. A pressão total de equilíbrio é
\mathrm{Pe} = p_{1}+p_{2} = x_{1}P_{1}^{sat} + x_{2}P_{2}^{sat},
com \,x_{2}=1-x_{1}. A fração molar do componente 1 na fase vapor é
y_{1}=\frac{p_{1}}{\mathrm{Pe}}=\frac{x_{1}P_{1}^{sat}}{x_{1}P_{1}^{sat}+(1-x_{1})P_{2}^{sat}}.
Nossa meta é, dado \,y_{1} e \,P_{i}^{sat}, isolar \,x_{1} e então calcular \mathrm{Pe}.
Faço uma manipulação algébrica simples para resolver \,x_{1}. Partindo de
y_{1}=\frac{x_{1}P_{1}}{x_{1}P_{1}+(1-x_{1})P_{2}},
onde escrevo P_{1} e P_{2} para \,P_{1}^{sat} e \,P_{2}^{sat} para abreviar. Reorganizando obtém-se uma forma prática:
\frac{1-x_{1}}{x_{1}} = \frac{P_{1}}{P_{2}}\cdot\frac{1-y_{1}}{y_{1}}.
Dessa expressão segue
x_{1} = \frac{1}{1 + \dfrac{P_{1}}{P_{2}}\cdot\dfrac{1-y_{1}}{y_{1}} }.
Essa forma é bem prática na prova: calcula-se a razão \dfrac{P_{1}}{P_{2}} e a razão \dfrac{1-y_{1}}{y_{1}} e substitui.

Passo 4

Calcular numericamente \,x_{1} usando a fórmula do passo anterior e os valores obtidos:
\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{81{,}90}{34{,}03}\approx 2{,}407, \qquad \frac{1-y_{1}}{y_{1}}=\frac{1-0{,}60}{0{,}60}=\frac{0{,}40}{0{,}60}=0{,}6666667.
Logo
\frac{P_{1}}{P_{2}}\cdot\frac{1-y_{1}}{y_{1}} \approx 2{,}407\times 0{,}6666667 \approx 1{,}6047.
Portanto
x_{1} = \frac{1}{1 + 1{,}6047} = \frac{1}{2{,}6047}\approx 0{,}3839.
Assim \;x_{1}\approx 0{,}3839 (ou 0{,}384 com três casas decimais).

Passo 5

Calcular a pressão de equilíbrio \mathrm{Pe} pela soma das pressões parciais:
\mathrm{Pe} = x_{1}P_{1} + (1-x_{1})P_{2}.
Substituindo os números:
x_{1}P_{1} \approx 0{,}3839\times 81{,}90 \approx 31{,}46\\ \text{kPa},
(1-x_{1})P_{2} \approx 0{,}6161\times 34{,}03 \approx 20{,}98\\ \text{kPa},
\mathrm{Pe} \approx 31{,}46 + 20{,}98 = 52{,}44\\ \text{kPa}.
Verificação rápida: \;y_{1}=\dfrac{p_{1}}{\mathrm{Pe}}=\dfrac{31{,}46}{52{,}44}\approx 0{,}600, coerente com o dado inicial (dentro de arredondamento).

Resposta

\mathrm{Pe}=52{,}44\\ \text{kPa}
x_{1}=0{,}3839

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