(Rosser, adaptado) Uma caixa contém
“moléculas” de um gás de rede ideal (o segundo “modelo de brinquedo” das notas de aula sobre entropia) no equilíbrio tér-
mico, distribuídas entre
células elementares. Rotulamos por
e
as duas metades da caixa.
(a) Quantas moléculas de gás a caixa deve conter para que as flutuações relativas no número de moléculas na metade
sejam de cerca de
?
(b) Quantas moléculas de gás a caixa deve conter para que as flutuações relativas no número de moléculas na metade
sejam de cerca de 1 parte em
?
(c) Para cada um dos itens anteriores, calcule a probabilidade de que todas as moléculas estejam na metade
.
mico, distribuídas entre
(a) Quantas moléculas de gás a caixa deve conter para que as flutuações relativas no número de moléculas na metade
(b) Quantas moléculas de gás a caixa deve conter para que as flutuações relativas no número de moléculas na metade
(c) Para cada um dos itens anteriores, calcule a probabilidade de que todas as moléculas estejam na metade
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Determinar quantas moléculas
, são necessárias para que as flutuações relativas no número de moléculas na metade sejam de cerca de . - (b) Determinar quantas moléculas
, são necessárias para que as flutuações relativas na metade sejam de cerca de parte em . - (c) Para cada um dos casos anteriores, calcular a probabilidade de que todas as moléculas estejam na metade
.
Informações e condições dadas:
- A caixa tem
células elementares (metade e metade têm a mesma quantidade de células). - As moléculas estão em equilíbrio térmico e a distribuição entre as duas metades é simétrica (probabilidade
de uma molécula estar em e em ). - Não foi dada nenhuma outra restrição; portanto cada molécula pode ser tratada como independente quanto à escolha da metade.
Passo 2
Modelo estatístico e definições (explicação didática e intuitiva).
- Seja
a variável aleatória que conta o número de moléculas na metade . Como cada molécula tem probabilidade de cair em independentemente das outras, tem distribuição binomial:
- Para a binomial com parâmetros
e temos as fórmulas fundamentais:
Aqui cada termo significa:
-
é o número total de moléculas; -
é a probabilidade de sucesso (estar em ) para cada molécula; -
é o valor médio esperado de moléculas em ; -
mede a dispersão (flutuações) em torno da média.
Aplicando
obtemos:
A desviopadrão é
Passo 3
Definição de flutuação relativa e relação com
(passo chave para resolver (a) e (b)).
- A flutuação relativa no número de moléculas em
é definida como . - Substituindo os resultados do passo anterior:
Portanto a flutuação relativa é simplesmente
. Isto é uma fórmula muito útil: para reduzir as flutuações relativas em um fator, aumenta-se o número de partículas pelo quadrado desse fator.
Passo 4
Resolver o item (a): flutuação relativa
.
- Queremos
. - Invertendo,
- Elevando ao quadrado,
Comentário curto de checagem:
é muito menor que
, então há células de sobra — o modelo de gás de rede com probabilidade
por metade é consistente.
Passo 5
Resolver o item (b): flutuação relativa
parte em
.
- Queremos
. - Invertendo,
- Elevando ao quadrado,
Comentário curto: aqui
é igual a
. Isso significa, no modelo de células, em média há uma molécula por célula; ainda é um caso admissível do modelo (embora seja um limite em que ocupação média é 1).
Passo 6
Resolver o item (c): probabilidade de todas as moléculas estarem na metade
.
- Cada molécula tem probabilidade
de estar em e as escolhas são independentes, então a probabilidade de todas as estarem em é
- Vamos avaliar numericamente esse valor (ordem de grandeza) para os dois
obtidos.
Cálculo de ordens de grandeza em base 10 (útil porque os números são extremamente pequenos).
Usamos
.
Para
:
logo
Isto é um número com aproximadamente
casas decimais antes do primeiro dígito não nulo — essencialmente impossível na prática.
Para
:
logo
Isto é absurdamente pequeno (praticamente zero para qualquer propósito físico).
Resposta
(a)
(b)
(c) Para :
. Para
:
.
(b)
(c) Para