Em um teste de múltipla escolha com 5 alternativas de resposta, estudantes podem saber a resposta correta ou “chutar” uma resposta. Digamos que uma certa pessoa saiba a resposta correta com probabilidade 0,6 e “chute” com probabilidade 0,4 . Suponha que, caso a pessoa “chute”, a probabilidade de que ela indique a resposta correta seja 1 / 5. Calcule a probabilidade de que a pessoa saiba a resposta dado que tenha assinalado a resposta correta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação dada:
    • Probabilidade de a pessoa saber a resposta: P(\text{Sabe}) = 0,6.
    • Probabilidade de a pessoa chutar: P(\text{Chuta}) = 0,4.
    • Se a pessoa chuta, a probabilidade de acertar é \dfrac{1}{5}. Ou seja, P(\text{Acerta}\mid\text{Chuta})=\dfrac{1}{5}.
    • Se a pessoa sabe a resposta, assume-se que ela indica a correta com probabilidade 1. Ou seja, P(\text{Acerta}\mid\text{Sabe})=1.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a probabilidade de que a pessoa sabia a resposta dado que ela assinalou a resposta correta, isto é, P(\text{Sabe}\mid\text{Acerta}).

Passo 2

Explicação do método (fórmulas e conceitos) — uma mini-aula sobre probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
  • Definição: a probabilidade condicional P(A\mid B) é a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu.
  • Teorema de Bayes (forma que vamos usar):
P(\text{Sabe}\mid\text{Acerta})=\frac{P(\text{Acerta}\mid\text{Sabe})\,P(\text{Sabe})}{P(\text{Acerta})}.
Aqui:
  • P(\text{Sabe}) é a probabilidade a priori de saber a resposta (antes de saber se acertou).
  • P(\text{Acerta}\mid\text{Sabe}) é a verossimilhança de acertar dado que sabe.
  • P(\text{Acerta}) é a probabilidade total de acertar (e serve como normalizador).
  • Como obter P(\text{Acerta}): usar a Lei da Probabilidade Total, porque os eventos “Sabe” e “Chuta” particionam o espaço:
P(\text{Acerta})=P(\text{Acerta}\mid\text{Sabe})P(\text{Sabe})+P(\text{Acerta}\mid\text{Chuta})P(\text{Chuta}).

Passo 3

Calcular P(\text{Acerta}) com os valores dados.
  • Substituindo:
P(\text{Acerta})=1\cdot 0,6 + \frac{1}{5}\cdot 0,4.
  • Calcular cada termo:
    • 1\cdot 0,6 = 0,6.
    • \dfrac{1}{5}\cdot 0,4 = 0,2\cdot 0,4 = 0,08.
  • Somando:
P(\text{Acerta})=0,6+0,08=0,68.

Passo 4

Aplicar Bayes e simplificar passo a passo.
  • Fórmula:
P(\text{Sabe}\mid\text{Acerta})=\frac{P(\text{Acerta}\mid\text{Sabe})\,P(\text{Sabe})}{P(\text{Acerta})}.
  • Substituindo números:
P(\text{Sabe}\mid\text{Acerta})=\frac{1\cdot 0,6}{0,68}=\frac{0,6}{0,68}.
  • Transformando para fração inteira para simplificar:
\frac{0,6}{0,68}=\frac{60}{68}=\frac{15}{17}.
  • Valor aproximado:
\frac{15}{17}\approx 0,88235\quad(\text{ou }88{,}235\%).
  • Interpretação rápida: dado que a pessoa assinalou a resposta correta, a chance de ela realmente saber a resposta é alta — cerca de 88{,}2\%.

Passo 5

Dica prática para prova: quando tiver dois “modos” de responder (saber vs chutar) e quiser P(\text{sabe}\mid\text{acertou}), aplique direto
P(\text{sabe}\mid\text{acertou})=\frac{P(\text{sabe})\cdot P(\text{acerta}\mid\text{sabe})}{P(\text{sabe})\cdot P(\text{acerta}\mid\text{sabe})+P(\text{chuta})\cdot P(\text{acerta}\mid\text{chuta})},
substitua os números e simplifique. Fazendo isso aqui chega-se ao resultado acima. Força, você consegue aplicar isso na prova!

Resposta

\dfrac{15}{17}\approx 0,88235

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