Em um teste de múltipla escolha com 5 alternativas de resposta, estudantes podem saber a resposta correta ou “chutar” uma resposta. Digamos que uma certa pessoa saiba a resposta correta com probabilidade 0,6 e “chute” com probabilidade 0,4 . Suponha que, caso a pessoa “chute”, a probabilidade de que ela indique a resposta correta seja
. Calcule a probabilidade de que a pessoa saiba a resposta dado que tenha assinalado a resposta correta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Informação dada:
- Probabilidade de a pessoa saber a resposta:
. - Probabilidade de a pessoa chutar:
. - Se a pessoa chuta, a probabilidade de acertar é
. Ou seja, . - Se a pessoa sabe a resposta, assume-se que ela indica a correta com probabilidade
. Ou seja, .
- Probabilidade de a pessoa saber a resposta:
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a probabilidade de que a pessoa sabia a resposta dado que ela assinalou a resposta correta, isto é,
.
- Calcular a probabilidade de que a pessoa sabia a resposta dado que ela assinalou a resposta correta, isto é,
Passo 2
Explicação do método (fórmulas e conceitos) — uma mini-aula sobre probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
- Definição: a probabilidade condicional
é a probabilidade de ocorrer sabendo que ocorreu. - Teorema de Bayes (forma que vamos usar):
Aqui:
-
é a probabilidade a priori de saber a resposta (antes de saber se acertou). -
é a verossimilhança de acertar dado que sabe. -
é a probabilidade total de acertar (e serve como normalizador). -
Como obter
: usar a Lei da Probabilidade Total, porque os eventos “Sabe” e “Chuta” particionam o espaço:
Passo 3
Calcular
com os valores dados.
- Substituindo:
-
Calcular cada termo:
-
. -
.
-
-
Somando:
Passo 4
Aplicar Bayes e simplificar passo a passo.
- Fórmula:
- Substituindo números:
- Transformando para fração inteira para simplificar:
- Valor aproximado:
- Interpretação rápida: dado que a pessoa assinalou a resposta correta, a chance de ela realmente saber a resposta é alta — cerca de
.
Passo 5
Dica prática para prova: quando tiver dois “modos” de responder (saber vs chutar) e quiser
, aplique direto
substitua os números e simplifique. Fazendo isso aqui chega-se ao resultado acima. Força, você consegue aplicar isso na prova!