(Sadiku - 5.33) Uma esfera, no espaço livre, revestida de prata, de raio 5 cm , está carregada com uma carga total de 12 nC , uniformemente distribuída em sua superfície. Determine:
|D| sobre a superfície da esfera

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! A gente tem uma esfera de prata no espaço livre, com raio de 5 cm, e ela tá carregada com uma carga total de 12 nC distribuída de forma uniforme na superfície. O que a gente precisa descobrir é o valor da magnitude do campo de deslocamento elétrico, representado por |D|, na superfície dessa esfera. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico, carga distribuída em superfícies e a relação entre D e E na eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo de deslocamento elétrico, D. Na eletrostática, a relação entre D e o campo elétrico, E, é dada por:
D = varepsilon0 E
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, que vale aproximadamente $ 8,85 \times 10^{-12} , C^2/N \cdot m^2 $.

Passo 3

Como a carga está distribuída uniformemente na superfície da esfera, podemos calcular a densidade superficial de carga, $ \sigma $, que é a carga por unidade de área. A fórmula para $ \sigma $ é:
sigma
onde:
  • $ Q $ é a carga total (12 nC),
  • $ r $ é o raio da esfera (5 cm).

Passo 4

Vamos converter as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos:
  • $ Q = 12 , nC = 12 \times 10^{-9} , C $
  • $ r = 5 , cm = 0,05 , m $

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da densidade superficial de carga:
sigma = 12 times 10^-9 , C4pi (0,05 , m)^2
Primeiro, calculamos o denominador:
4pi (0,05)^2 = 4pi (0,0025) = 0,01pi , m^2
Então,
sigma = 12 times 10^-90,01pi = 12 times 10^-90,0314159 approx 3,82 times 10^-7 , C/m^2

Passo 6

Agora que temos $ \sigma $, podemos relacionar isso com o campo de deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $. Na superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado com $ \sigma $ por:
sigma
E como $ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} $, substituindo temos:
D
Isso significa que a magnitude de $ \mathbf{D} $ na superfície é igual à densidade superficial de carga $ \sigma $.

Passo 7

Portanto, a magnitude de $ \mathbf{D} $ sobre a superfície da esfera é:
D

Resposta

A magnitude do campo de deslocamento elétrico na superfície da esfera é aproximadamente $ 3,82 \times 10^{-7} , C/m^2 $.

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