(Sadiku - 5.33) Uma esfera, no espaço livre, revestida de prata, de raio 5 cm , está carregada com uma carga total de 12 nC , uniformemente distribuída em sua superfície. Determine:
|D| sobre a superfície da esfera
|D| sobre a superfície da esfera
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! A gente tem uma esfera de prata no espaço livre, com raio de 5 cm, e ela tá carregada com uma carga total de 12 nC distribuída de forma uniforme na superfície. O que a gente precisa descobrir é o valor da magnitude do campo de deslocamento elétrico, representado por |D|, na superfície dessa esfera. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico, carga distribuída em superfícies e a relação entre D e E na eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo de deslocamento elétrico, D. Na eletrostática, a relação entre D e o campo elétrico, E, é dada por:
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, que vale aproximadamente $ 8,85 \times 10^{-12} , C^2/N \cdot m^2 $.
Passo 3
Como a carga está distribuída uniformemente na superfície da esfera, podemos calcular a densidade superficial de carga, $ \sigma $, que é a carga por unidade de área. A fórmula para $ \sigma $ é:
onde:
- $ Q $ é a carga total (12 nC),
- $ r $ é o raio da esfera (5 cm).
Passo 4
Vamos converter as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos:
- $ Q = 12 , nC = 12 \times 10^{-9} , C $
- $ r = 5 , cm = 0,05 , m $
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da densidade superficial de carga:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então,
Passo 6
Agora que temos $ \sigma $, podemos relacionar isso com o campo de deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $. Na superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado com $ \sigma $ por:
E como $ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} $, substituindo temos:
Isso significa que a magnitude de $ \mathbf{D} $ na superfície é igual à densidade superficial de carga $ \sigma $.
Passo 7
Portanto, a magnitude de $ \mathbf{D} $ sobre a superfície da esfera é:
Resposta
A magnitude do campo de deslocamento elétrico na superfície da esfera é aproximadamente $ 3,82 \times 10^{-7} , C/m^2 $.