A) O que são as temperaturas de inversão superior e inferior para um gás real? Compare a temperatura de inversão experimental na tabela abaixo para as substâncias puras com os valores obtidos pela expressão
\mathrm{T}_{\text {inv, } \max }=\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{bR}}=\frac{27}{4} \mathrm{~T}_{\text {critica }}
onde a e b são parâmetros de van der Waals e a constante dos gases R=0,0831451 L.bar.K { }^{-1}.mol ^{-1}
Table 1: Tabela. Temperatura de Inversão Máxima alguns Gases
\captionsetup{labelformat=empty}
gás \mathbf{T}_{\text {inv, Max }} \mathbf{K} Parâmetros de van der Waals \mathbf{T}_{\text {inv }} \mathbf{K} *(Waals),
a \mathrm{L}^{2} \cdot \mathrm{bar} / \mathrm{mol}^{2} b L/mol
hidrogênio 195,37
hélio 23,15
nitrogênio 620,93
mistura ar 603,15
B) Considerando a tabela acima, identifique e justifique a escolha de um gás, pelo menos, para refrigeração na temperatura de 300 K .

Passo 1

O enunciado pede (a) que a gente explique o que são as temperaturas de inversão superior e inferior de um gás real, compare os valores experimentais de T_{\text{inv, Max}} dados na tabela com o valor teórico obtido de
T_{\text{inv, Max}}=\frac{2a}{bR}=\frac{27}{4}\,T_{\text{crit}}
onde a,b são os parâmetros de van der Waals e R=0,0831451, L\cdot ba r\cdot K ^{-1}·mol ^{-1}.
Em (b) devemos escolher um gás adequado para refrigeração a 300 K, justificando a escolha a partir dos valores de inversão.

Passo 2

A temperatura de inversão é a condição em que o coeficiente de Joule–Thomson muda de sinal: para T<T_{\text{inv}} a expansão isenthalpa resfria o gás \mu_{\text{JT}}>0 e para T>T_{\text{inv}} ela aquece \mu_{\text{JT}}<0.
Como a dependência de \mu_{\text{JT}} em P dá duas soluções de T para cada pressão (ramo superior e ramo inferior da curva de inversão), chamamos de
inversão superior T_{\text{inv, sup}}: o ramo de maior temperatura, cujo máximo em P\to0 é \displaystyle T_{\text{inv, Max}}=\frac{2a}{bR}.
inversão inferior T_{\text{inv, inf}}: o ramo de menor temperatura que também zera \mu_{\text{JT}}.

Passo 3

Para comparar experimental × teórico usamos a fórmula equivalente
T_{\text{inv, Max}}=\frac{27}{4}\,T_{\text{crit}}
e as temperaturas críticas típicas: \,T_{\text{crit}}(\mathrm{H_2})=33{,}2,K, \,T_{\text{crit}}(\mathrm{He})=5{,}20,K, \,T_{\text{crit}}(\mathrm{N_2})=126{,}2,K, \,T_{\text{crit}}(\text{ar})\approx132{,}5,K.

Passo 4

Calculando
\begin{aligned} T_{\text{inv, Max}}(\mathrm{H_2})&=\frac{27}{4}\times33{,}2=224{,}1\\ \mathrm K,\\\ T_{\text{inv, Max}}(\mathrm{He})&=\frac{27}{4}\times5{,}20=35{,}1\\ \mathrm K,\\\ T_{\text{inv, Max}}(\mathrm{N_2})&=\frac{27}{4}\times126{,}2=852{,}8\\ \mathrm K,\\\ T_{\text{inv, Max}}(\text{ar})&=\frac{27}{4}\times132{,}5=894{,}4\\ \mathrm K. \end{aligned}

Passo 5

Comparando com os valores experimentais:
\begin{aligned} \text{gás} &\quad T_{\text{inv, exp}}\,(\mathrm K)\quad T_{\text{inv, Max}}\,(\mathrm{teo})\\ (\tfrac{27}{4}T_c)\\\ \mathrm{H_2}&\quad195{,}4\quad\quad224{,}1\\\ \mathrm{He}&\quad23{,}15\quad\quad35{,}1\\\ \mathrm{N_2}&\quad620{,}9\quad\quad852{,}8\\\ \text{ar}&\quad603{,}2\quad\quad894{,}4 \end{aligned}á
Os valores teóricos (van der Waals) ficam sistematicamente acima dos experimentais porque a equação de van der Waals superestima as interações e não capta efeitos de forma molecular, associações e contribuições quânticas.

Passo 6

Para refrigeração a 300,K o gás deve ter T_{\text{inv, Max}}>300,K, pois só abaixo dessa inversão (no ramo onde \mu_{\text{JT}}>0) ocorre resfriamento ao expandir.
Dos quatro gases, somente \mathrm{N_2} e o ar satisfazem T_{\text{inv, Max}}\gg300,K.
Escolhemos nitrogênio \mathrm{N_2} por ser inerte, barato e ter T_{\text{inv, Max}}\approx620,K (exp.) possibilitando resfriamento eficiente a 300,K.

Resposta

Nitrogênio \mathrm{N_2}, pois sua temperatura de inversão máxima experimental ( \approx620,K) é bem superior a 300,K, garantindo resfriamento por expansão isentalpa nessa faixa.

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