A) O que são as temperaturas de inversão superior e inferior para um gás real? Compare a temperatura de inversão experimental na tabela abaixo para as substâncias puras com os valores obtidos pela expressão
\mathrm{T}_{\text {inv, } \max }=\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{bR}}=\frac{27}{4} \mathrm{~T}_{\text {critica }}
onde a e b são parâmetros de van der Waals e a constante dos gases R=0,0831451 L.bar.K { }^{-1}.mol ^{-1}
Table 1: Tabela. Temperatura de Inversão Máxima alguns Gases
\captionsetup{labelformat=empty}
gás \mathbf{T}_{\text {inv, Max }} \mathbf{K} Parâmetros de van der Waals \mathbf{T}_{\text {inv }} \mathbf{K} *(Waals),
a \mathrm{L}^{2} \cdot \mathrm{bar} / \mathrm{mol}^{2} b L/mol
hidrogênio 195,37
hélio 23,15
nitrogênio 620,93
mistura ar 603,15
B) Considerando a tabela acima, identifique e justifique a escolha de um gás, pelo menos, para refrigeração na temperatura de 300 K .

Passo 1

O enunciado pede (a) que definamos o que são as temperaturas de inversão superior e inferior de um gás real e que comparemos, para quatro gases puros, os valores experimentais de \mathrm{T}_{\text{inv,max}} com os valores preditos pela expressão
\mathrm{T}_{\text{inv,max}} \;=\;\frac{2a}{bR}\;=\;\frac{27}{4}\,T_{\text{crit}}
onde a e b são os parâmetros de van der Waals e R=0{,}0831451 L\cdot ba r\cdot K ^{-1}·mol ^{-1}. Em (b) devemos escolher um gás para refrigeração a 300 K.

Passo 2

Na expansão Joule–Thomson, a inversão ocorre quando o coeficiente \displaystyle\mu_{\text{JT}}=\Bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_H
muda de sinal. Para o gás de van der Waals, a curva de inversão é dada por
T_i(V)\;=\;\frac{2a}{bR}\,\Bigl(1-\frac{b}{V}\Bigr)^{2}.
Deste modo, os extremos dessa curva são:
\text{Temperatura de inversão máxima (P\to0):} \quad T_{\text{inv,max}} =\frac{2a}{bR} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{27}{4}\,T_{\text{crit}},ãá
\text{Temperatura de inversão mínima (vértice, }V=3b\!): \quad T_{\text{inv,min}} =\frac{8a}{9bR} \quad\Longleftrightarrow\quad 3\,T_{\text{crit}}.ãíé

Passo 3

Usando valores típicos de a e b ( L^{2}·bar ·mo l^{-}² e L\cdot mo l^{-}¹) e T_{\text{crit}} (K):
\begin{array}{l|ccccc} \text{Gás} & a & b & T_{\text{crit}} & T_{\text{inv,max}}^{\mathrm{VdW}}=\dfrac{2a}{bR} & T_{\text{inv,exp}}\\hline \mathrm{H}_2 & 0{,}244 & 0{,}0266 & 33{,}2 & \dfrac{2\cdot0{,}244}{0{,}0266\cdot0{,}0831451}\approx221 &195{,}4\\[6pt] \mathrm{He} & 0{,}0341 & 0{,}0237 & \;5{,}19 & \dfrac{2\cdot0{,}0341}{0{,}0237\cdot0{,}0831451}\approx34{,}6 &23{,}15\\[6pt] \mathrm{N}_2 & 1{,}370 & 0{,}0387 &126{,}2 & \dfrac{2\cdot1{,}370}{0{,}0387\cdot0{,}0831451}\approx852 &620{,}9\\[6pt] \text{ar (mistura)} & 1{,}35 & 0{,}0375 &132{,}5 & \dfrac{2\cdot1{,}35}{0{,}0375\cdot0{,}0831451}\approx865 &603{,}15 \end{array}á]

Passo 4

Comparando os valores teóricos e experimentais de \mathrm{T}_{\text{inv,max}}:
  • O modelo de van der Waals superestima consistentemente \mathrm{T}_{\text{inv,max}}, sobretudo em hélio e nitrogênio.
  • As discrepâncias devem-se à simplicidade da equação de van der Waals, que não captura efeitos quânticos (em He e H_{2}) nem detalhes de interações complexas (em N_{2} e ar).

Passo 5

Para refrigeração a 300 K é preciso que \mathrm{T}_{\text{inv}}>300 K, pois só assim \mu_{\text{JT}}>0 e o gás esfria ao expandir. Dos quatro gases, N_{2} ( 620{,}9 K) e ar ( 603{,}2 K) satisfazem isso; H_{2} e He não servem ( \mathrm{T}_{\text{inv}}<300 K). Entre N_{2} e ar, opta-se por nitrogênio puro devido à disponibilidade, custos e propriedades bem caracterizadas.

Resposta

Para refrigeração a 300 K, o gás indicado é o nitrogênio ( \mathrm{T}_{\text{inv,max}}=620{,}9 K).

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