Um secador de sílica gel remove 1000 kg de água/ h . Ar é alimentado a 55^{\circ} \mathrm{C} no ponto de orvalho a 26,5^{\circ} \mathrm{C}. Ar deixa o secador a 32^{\circ} \mathrm{C} com ponto de orvalho de 7,2^{\circ} \mathrm{C}. A pressão no sistema é mantida a 100 kPa . Calcule o volume de ar úmido (nas condições iniciais) que é alimentado por hora e a umidade relativa dessa corrente de ar.

Passo 1

O que o enunciado dá (peguei todos os números do enunciado):
  • Caudal de água removida: \dot{m}_\text{água}=1000\\ \mathrm{kg/h}á.
  • Ar de entrada: T_\text{in}=55^\circ\mathrm{C} com ponto de orvalho T_\text{dp,in}=26{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Ar de saída: T_\text{out}=32^\circ\mathrm{C} com ponto de orvalho T_\text{dp,out}=7{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão total do sistema: P=100\\ \mathrm{kPa}.
O que se pede:
  1. O volume de ar úmido (nas condições iniciais de entrada) alimentado por hora (ou seja, V_\text{in} em \mathrm{m^3/h}).
  2. A umidade relativa da corrente de ar de entrada (ou seja, \mathrm{RH}_\text{in} em %).
Observações úteis (não resolvo ainda): o ponto de orvalho nos dá a pressão parcial de vapor no ar (igual à pressão de saturação àquele ponto), e a massa de água removida é igual à diferença de razão de mistura vezes a vazão mássica de ar seco. Vou calcular pressão de vapor a partir dos pontos de orvalho, obter razões de mistura (umidade absoluta), achar a vazão mássica de ar seco e então o volume usando o volume específico do ar úmido. Também calcularei a umidade relativa como a razão entre a pressão parcial de vapor do ar de entrada e a pressão de saturação à temperatura de entrada.

Passo 2

Encontrar as pressões parciais de vapor a partir dos pontos de orvalho (uso a fórmula de Tetens, boa e simples para água em faixa de temperatura ambiente):
p_\text{sat}(T)=0{,}61078\\ \exp\!\bigg(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\bigg)\\ \text{(kPa)},\quad T\\ \text{em }^\circ\mathrm{C}.
  • Para o ponto de orvalho de entrada T_\text{dp,in}=26{,}5^\circ\mathrm{C}:
p_{v,\text{in}}=p_\text{sat}(26{,}5^\circ\mathrm{C})\approx0{,}61078\exp\!\Big(\frac{17{,}27\cdot26{,}5}{26{,}5+237{,}3}\Big)\approx3{,}456\\ \mathrm{kPa}.
  • Para o ponto de orvalho de saída T_\text{dp,out}=7{,}2^\circ\mathrm{C}:
p_{v,\text{out}}=p_\text{sat}(7{,}2^\circ\mathrm{C})\approx0{,}61078\exp\!\Big(\frac{17{,}27\cdot7{,}2}{7{,}2+237{,}3}\Big)\approx1{,}015\\ \mathrm{kPa}.
Comentário rápido: ponto de orvalho é a temperatura onde o vapor está saturado, então a pressão parcial do vapor no ar é igual à pressão de saturação àquele ponto.

Passo 3

Calcular a razão de mistura (umidade absoluta) \,w em \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}}. Fórmula padrão (derivada da lei dos gases para mistura):
w=0{,}622\cdot\frac{p_v}{P-p_v},
onde p_v é a pressão parcial do vapor (kPa) e P é a pressão total (kPa). A constante 0{,}622 vem da razão das massas molares \dfrac{M_v}{M_{da}} invertida.
  • Para a entrada:
w_\text{in}=0{,}622\cdot\frac{p_{v,\text{in}}}{P-p_{v,\text{in}}} =0{,}622\cdot\frac{3{,}456}{100-3{,}456}\approx0{,}02226\\ \mathrm{kg/kg}.
  • Para a saída:
w_\text{out}=0{,}622\cdot\frac{p_{v,\text{out}}}{P-p_{v,\text{out}}} =0{,}622\cdot\frac{1{,}015}{100-1{,}015}\approx0{,}00638\\ \mathrm{kg/kg}.
Diferença de umidade (água removida por kg de ar seco):
\Delta w = w_\text{in}-w_\text{out}\approx0{,}02226-0{,}00638=0{,}01588\\ \mathrm{kg/kg}.
Explicação: \Delta w diz quantos kg de água são retirados por cada kg de ar seco que atravessa o secador.

Passo 4

Calcular a vazão mássica de ar seco \dot{m}_\text{as} usando a água removida por hora:
\dot{m}_\text{água}=\dot{m}_\text{as}\,\Delta w \quad\Rightarrow\quad \dot{m}_\text{as}=\frac{\dot{m}_\text{água}}{\Delta w}.áá
Substituindo:
\dot{m}_\text{as}=\frac{1000\\ \mathrm{kg/h}}{0{,}01588\\ \mathrm{kg/kg}}\approx62958\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação: são cerca de 6{,}30\times10^{4}\\ \mathrm{kg} de ar seco por hora que passam pelo secador.

Passo 5

Achar o volume específico do ar úmido na entrada (volume por kg de ar seco). Usamos a forma derivada da equação dos gases para mistura:
P\,v=(R_{da}+w\,R_v)\,T,
onde:
  • v é o volume específico por kg de ar seco ( \mathrm{m^3/kg_{ar\\ seco}});
  • R_{da}=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\,K)} é a constante dos gases para ar seco;
  • R_v=461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\,K)} é a constante dos gases para vapor d’água;
  • T é a temperatura absoluta em K;
  • P em Pa.
Logo,
v=\frac{(R_{da}+w\,R_v)\,T}{P}.
Converter dados de entrada:
T_\text{in}=55^\circ\mathrm{C}=328{,}15\\ \mathrm{K},\qquad P=100\\ \mathrm{kPa}=100000\\ \mathrm{Pa}.
Calcular v_\text{in} usando w_\text{in}:
v_\text{in}=\frac{\big(287{,}05+0{,}02226\cdot461{,}5\big)\cdot328{,}15}{100000} \approx\frac{297{,}33\cdot328{,}15}{100000}\approx0{,}9759\\ \mathrm{m^3/kg}.
Explicação: esse v_\text{in} é o volume ocupado por 1 kg de ar seco mais seu vapor associado, nas condições de entrada.

Passo 6

Volume de ar úmido de entrada por hora:
\dot{V}_\text{in}=\dot{m}_\text{as}\,v_\text{in}.
Substituindo os valores numéricos:
\dot{V}_\text{in}\approx62958\\ \mathrm{kg/h}\times0{,}9759\\ \mathrm{m^3/kg} \approx6{,}14\times10^{4}\\ \mathrm{m^3/h}.
Obs.: arredondei para três algarismos significativos no resultado final.

Passo 7

Calcular a umidade relativa na entrada \mathrm{RH}_\text{in}. Definição:
\mathrm{RH}_\text{in}=\frac{p_{v,\text{in}}}{p_\text{sat}(T_\text{in})}\times100\%.
Já temos p_{v,\text{in}}=3{,}456\\ \mathrm{kPa}. Calcular p_\text{sat} à T_\text{in}=55^\circ\mathrm{C} com a mesma fórmula de Tetens:
p_\text{sat}(55^\circ\mathrm{C})\approx0{,}61078\exp\!\Big(\frac{17{,}27\cdot55}{55+237{,}3}\Big)\approx15{,}75\\ \mathrm{kPa}.
Portanto
\mathrm{RH}_\text{in}=\frac{3{,}456}{15{,}75}\times100\%\approx21{,}96\%\approx22{,}0\%.
Interpretação: o ar de entrada está relativamente seco para a temperatura de 55^\circ\mathrm{C} — só cerca de 22\% da capacidade máxima de vapor àquela temperatura.

Resposta

\dot{V}_\text{in}\approx6{,}14\times10^{4}\\ \mathrm{m^{3}/h}
\mathrm{RH}_\text{in}\approx22{,}0\%

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