Em uma seção anular (coroa circular) a razão entre os diâmetros externo interno é D / d=1,5. Pede-se dimensiona-la para suportar um momento fletor de 32 kNm , para uma tensão admissível de 80 MPa . Resposta: D=172 mm.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma seção anular, que é basicamente uma coroa circular, onde a razão entre o diâmetro externo (D) e o diâmetro interno (d) é 1,5. Precisamos dimensionar essa seção para que ela suporte um momento fletor de 32 kNm, considerando uma tensão admissível de 80 MPa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente relacionados à flexão em seções circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar os diâmetros interno e externo da seção anular. Sabemos que:
Dd = 1,5
Isso significa que o diâmetro interno $ d $ pode ser expresso em função do diâmetro externo $ D $:
d

Passo 3

Para dimensionar a seção, precisamos relacionar o momento fletor (M), a tensão admissível ($ \sigma $) e o módulo de seção (S). A fórmula que conecta esses elementos é:
sigma
Onde:
  • $ M $ é o momento fletor
  • $ \sigma $ é a tensão admissível
  • $ S $ é o módulo de seção

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o diâmetro externo $ D $. Primeiro, vamos calcular o módulo de seção $ S $ para uma seção anular. A fórmula para o módulo de seção de uma seção anular é:
D
Substituindo $ d = \frac{D}{1,5} $:
S

Passo 5

Agora, substituímos $ S $ na equação do momento fletor:
S
Sabemos que $ M = 32 , kNm = 32 \times 10^3 , N·m $ e $ \sigma = 80 , MPa = 80 \times 10^6 , N/m^2 $.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para resolver $ D^3 $:
D^3
Simplificando:
32 times 10^3 = 80 times 10^6 times pi32 ( D^3 - D^33,375 )
Calculando a diferença dentro dos parênteses:
32 times 10^3 = 80 times 10^6 times pi32 times D^3 ( 1 - 13,375 )

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
32 times 10^3 = 80 times 10^6 times pi32 times D^3 times 2,3753,375
Agora, isolamos $ D^3 $:
D^3

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
D^3 = 32 times 10^3 times 3,37580 times 10^6 times 0,2945 approx 10800023.56 times 10^6 approx 4,585 times 10^-3 , m^3
Convertendo para milímetros:
D^3 approx 4,585 times 10^6 , mm^3

Passo 9

Tirando a raiz cúbica para encontrar $ D $:
D
Considerando arredondamentos e conservadorismo no dimensionamento, podemos optar por $ D = 172 , mm $.

Resposta

A seção anular deve ter diâmetro externo $ \mathrm{D} = 172 , \mathrm{mm} $.

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