Por que, em seção transversal de valor extremo de momento fletor, o esforço cortante é nulo ou tem descontinuidade que passa por valor nulo? Existe razão física para essa descontinuidade?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Explicar por que, numa seção transversal onde o momento fletor atinge um valor extremo, o esforço cortante é nulo ou apresenta uma descontinuidade que “passa por” o valor nulo.
  • Dizer se existe razão física para essa descontinuidade.
Informações / condições relevantes (que vamos usar):
  • Denotamos o esforço cortante por V(x), o momento fletor por M(x) e a carga distribuída por unidade de comprimento por q(x).
  • Pode haver, em pontos isolados, cargas concentradas P ou momentos concentrados M_0 (idealizações).
  • A resolução seguirá a ideia de equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga (equilíbrios de forças e momentos).

Passo 2

Derivação das relações diferenciais fundamentais (aulas básicas de equilíbrio de viga).
Considere um pequeno trecho da viga entre x e x+\mathrm{d}x. Aplicando equilíbrio de forças verticais (somando forças verticais = 0):
V(x)+\big(-\!q(x)\,\mathrm{d}x\big)-V(x+\mathrm{d}x)=0.
Rearranjando e tomando o limite \mathrm{d}x\to0 obtém-se a relação
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}=-q(x).
Agora faça equilíbrio de momentos em torno da face esquerda (ou direita) do elemento; desprezando termos de ordem superior em \mathrm{d}x chega-se a
\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=V(x).
Essas duas fórmulas são as fundamentais e válidas onde q(x) é finita e não há singularidades:
\boxed{\;V'(x)=-q(x),\qquad M'(x)=V(x)\;} .

Passo 3

Conclusão imediata para o caso regular (sem cargas concentradas na seção).
Se M tem um extremo local em x_0 e M é diferenciável em x_0, então a derivada em x_0 é zero:
M'(x_0)=0.
Pela relação M'(x)=V(x) segue que
V(x_0)=0.
Interpretação física simples: a inclinação do diagrama de momento (ou seja, a taxa de variação do momento ao longo da viga) é igual ao esforço cortante. Num extremo do diagrama de M a inclinação muda de sinal passando por zero, logo o cortante nesse ponto é zero. Pense assim: para o momento atingir o máximo, à esquerda do ponto o momento estava subindo (cisalhamento positivo) e à direita caindo (cisalhamento negativo); se não houver “salto”, em algum ponto entre os dois o cortante tem que ser exatamente zero — e se o extremo ocorre numa seção regular diferenciável, esse ponto é a seção e V=0.

Passo 4

O que acontece se houver uma carga concentrada na seção?
Uma carga concentrada P em x_0 aparece, na idealização, como uma singularidade na equação de equilíbrio. Tomando o equilíbrio vertical atravessando o ponto carregado obtém-se a relação de salto (limites laterais):
V(x_0^+)-V(x_0^-)= -P,
onde o sinal depende da convenção escolhida para P e V. Ou seja: o esforço cortante tem uma descontinuidade igual à magnitude da carga concentrada (com sinal conforme a convenção). Analogamente, um momento concentrado produz salto no diagrama de momento mas não no cortante.

Passo 5

Por que, então, em presença de carga concentrada o extremo de M pode ocorrer “onde V não é zero à esquerda nem à direita”?
  • Para haver um extremo de M no ponto x_0 não é necessário que V(x_0^-)=V(x_0^+)=0; o que caracteriza um máximo local é que as inclinações (as derivadas laterais) mudem de sinal: por exemplo M'(x_0^-) > 0 e M'(x_0^+) < 0. Como M'(x)=V(x), isto significa V(x_0^-)>0 e V(x_0^-) e V(x_0^+)<0. Assim V salta de um valor positivo para um valor negativo atravessando a seção. Na idealização matemática esse salto é instantâneo; por isso se costuma dizer que o salto “passa por zero”: os sinais são opostos, logo entre os dois lados existe a passagem pelo zero (na transição idealizada).
  • Exemplo concreto e simples: viga biapoiada com carga concentrada P no meio. As reações valem P/2. Imediatamente à esquerda da carga V=+P/2; imediatamente à direita V=-P/2. O diagrama de momento cresce até a carga e depois decresce — há um máximo do momento sob a carga, embora V à esquerda e à direita não sejam nulos; a mudança de sinal do cortante faz o momento atingir o pico exatamente ali.

Passo 6

Significado físico da descontinuidade (é “real” ou só matemática)?
  • A descontinuidade do diagrama de esforço cortante é consequência da idealização de concentrar toda uma força numa única seção (modelo com delta de Dirac). Fisicamente, cargas aplicadas realmente têm uma pequena área de aplicação: a variação do esforço cortante acontece numa região muito pequena, muito abrupta, porém contínua. Na modelagem estrutural clássica isso é tratado como carga concentrada e aparece como salto no diagrama de V.
  • Conclusão física: não é que o material “suporta” um salto instantâneo de tensão sem efeitos; é que a representação por forças concentradas compacta uma variação muito rápida numa singularidade matemática. Em análises detalhadas (distribuição real da carga, elementos finitos com malha fina) o corte varia muito rápido mas continuamente.

Passo 7

Resumo prático para a prova (como identificar e justificar rapidamente)
  • Se M tiver extremo numa seção onde não há carga concentrada: diga que M'(x)=V(x) e, como M'(x_0)=0, conclui-se V(x_0)=0.
  • Se houver uma carga concentrada em x_0: explique que existe salto V(x_0^+)-V(x_0^-)=-P; para que M tenha extremo nesse ponto as inclinações à esquerda e à direita devem ter sinais opostos, logo os valores limites de V aos dois lados têm sinais opostos (o salto “atravessa” o zero). Acrescente que a descontinuidade é efeito da idealização (na realidade a variação é muito abrupta, não um salto matemático).

Resposta

Porque, por equilíbrio, tem-se \dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=V; assim se M tem um extremo e é diferenciável então M'(x)=0 e portanto V=0. Se houver uma carga concentrada em x então V sofre um salto \;V(x^+)-V(x^-)=-P\; e, para o momento ter extremo aí, os sinais de V à esquerda e à direita são opostos (o salto “passa por” zero). A descontinuidade não é um mistério físico, é consequência da idealização de carga concentrada; no mundo real a variação é muito rápida mas contínua.