Por que, em seção transversal de valor extremo de momento fletor, o esforço cortante é nulo ou tem descontinuidade que passa por valor nulo? Existe razão física para essa descontinuidade?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Explicar por que, numa seção transversal onde o momento fletor atinge um valor extremo, o esforço cortante é nulo ou apresenta uma descontinuidade que “passa por” o valor nulo.
- Dizer se existe razão física para essa descontinuidade.
Informações / condições relevantes (que vamos usar):
- Denotamos o esforço cortante por
, o momento fletor por e a carga distribuída por unidade de comprimento por . - Pode haver, em pontos isolados, cargas concentradas
ou momentos concentrados (idealizações). - A resolução seguirá a ideia de equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga (equilíbrios de forças e momentos).
Passo 2
Derivação das relações diferenciais fundamentais (aulas básicas de equilíbrio de viga).
Considere um pequeno trecho da viga entre e
. Aplicando equilíbrio de forças verticais (somando forças verticais = 0):
Considere um pequeno trecho da viga entre
Rearranjando e tomando o limite
obtém-se a relação
Agora faça equilíbrio de momentos em torno da face esquerda (ou direita) do elemento; desprezando termos de ordem superior em
chega-se a
Essas duas fórmulas são as fundamentais e válidas onde
é finita e não há singularidades:
Passo 3
Conclusão imediata para o caso regular (sem cargas concentradas na seção).
Se tem um extremo local em
e
é diferenciável em
, então a derivada em
é zero:
Se
Pela relação
segue que
Interpretação física simples: a inclinação do diagrama de momento (ou seja, a taxa de variação do momento ao longo da viga) é igual ao esforço cortante. Num extremo do diagrama de
a inclinação muda de sinal passando por zero, logo o cortante nesse ponto é zero. Pense assim: para o momento atingir o máximo, à esquerda do ponto o momento estava subindo (cisalhamento positivo) e à direita caindo (cisalhamento negativo); se não houver “salto”, em algum ponto entre os dois o cortante tem que ser exatamente zero — e se o extremo ocorre numa seção regular diferenciável, esse ponto é a seção e
.
Passo 4
O que acontece se houver uma carga concentrada na seção?
Uma carga concentrada em
aparece, na idealização, como uma singularidade na equação de equilíbrio. Tomando o equilíbrio vertical atravessando o ponto carregado obtém-se a relação de salto (limites laterais):
Uma carga concentrada
onde o sinal depende da convenção escolhida para
e
. Ou seja: o esforço cortante tem uma descontinuidade igual à magnitude da carga concentrada (com sinal conforme a convenção). Analogamente, um momento concentrado produz salto no diagrama de momento mas não no cortante.
Passo 5
Por que, então, em presença de carga concentrada o extremo de
pode ocorrer “onde
não é zero à esquerda nem à direita”?
- Para haver um extremo de
no ponto não é necessário que ; o que caracteriza um máximo local é que as inclinações (as derivadas laterais) mudem de sinal: por exemplo e . Como , isto significa e e . Assim salta de um valor positivo para um valor negativo atravessando a seção. Na idealização matemática esse salto é instantâneo; por isso se costuma dizer que o salto “passa por zero”: os sinais são opostos, logo entre os dois lados existe a passagem pelo zero (na transição idealizada). - Exemplo concreto e simples: viga biapoiada com carga concentrada
no meio. As reações valem . Imediatamente à esquerda da carga ; imediatamente à direita . O diagrama de momento cresce até a carga e depois decresce — há um máximo do momento sob a carga, embora à esquerda e à direita não sejam nulos; a mudança de sinal do cortante faz o momento atingir o pico exatamente ali.
Passo 6
Significado físico da descontinuidade (é “real” ou só matemática)?
- A descontinuidade do diagrama de esforço cortante é consequência da idealização de concentrar toda uma força numa única seção (modelo com delta de Dirac). Fisicamente, cargas aplicadas realmente têm uma pequena área de aplicação: a variação do esforço cortante acontece numa região muito pequena, muito abrupta, porém contínua. Na modelagem estrutural clássica isso é tratado como carga concentrada e aparece como salto no diagrama de
. - Conclusão física: não é que o material “suporta” um salto instantâneo de tensão sem efeitos; é que a representação por forças concentradas compacta uma variação muito rápida numa singularidade matemática. Em análises detalhadas (distribuição real da carga, elementos finitos com malha fina) o corte varia muito rápido mas continuamente.
Passo 7
Resumo prático para a prova (como identificar e justificar rapidamente)
- Se
tiver extremo numa seção onde não há carga concentrada: diga que e, como , conclui-se . - Se houver uma carga concentrada em
: explique que existe salto ; para que tenha extremo nesse ponto as inclinações à esquerda e à direita devem ter sinais opostos, logo os valores limites de aos dois lados têm sinais opostos (o salto “atravessa” o zero). Acrescente que a descontinuidade é efeito da idealização (na realidade a variação é muito abrupta, não um salto matemático).
Resposta
Porque, por equilíbrio, tem-se
; assim se
tem um extremo e é diferenciável então
e portanto
. Se houver uma carga concentrada em
então
sofre um salto
e, para o momento ter extremo aí, os sinais de
à esquerda e à direita são opostos (o salto “passa por” zero). A descontinuidade não é um mistério físico, é consequência da idealização de carga concentrada; no mundo real a variação é muito rápida mas contínua.