O ar seco ao nível do mar é uma mistura de aproximadamente 75,52 \% (em massa) de nitrogênio, 23,15 \% de oxigênio, 1,28 \% de argônio e 0,046 \% de dióxido de carbono. Considerando que os gases se comportam idealmente, calcule \Delta \mathrm{G}, \Delta \mathrm{S} e \Delta \mathrm{H} de formação da mistura dos componentes do ar.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule \Delta G, \Delta S e \Delta H da formação (mistura) dos componentes do ar seco, sabendo as frações em massa: 75,52\% de \mathrm{N_2}, 23,15\% de \mathrm{O_2}, 1,28\% de \mathrm{Ar} e 0,046\% de \mathrm{CO_2}. Além disso temos a informação implícita de que os gases se comportam idealmente.
Informações dadas e decisões de base para o cálculo:
  • Frações em massa (peguei estes valores do enunciado):
    • \mathrm{N_2}:\;75,52\%
    • \mathrm{O_2}:\;23,15\%
    • \mathrm{Ar}:\;1,28\%
    • \mathrm{CO_2}:\;0,046\%
  • Assumo condições padrões usuais para esse tipo de exercício: temperatura T=298,15\\ \mathrm{K} (25 °C) e pressão 1\\ \mathrm{atm}. (Se a prova pedir outra T, substitui-se o valor.)
  • Vou calcular as grandezas por mol de mistura (ou seja, valor molar), que é o formato mais comum e útil em termodinâmica de misturas ideais.
  • Vou usar massas molares (valores típicos):
    • M_{\mathrm{N_2}}=28{,}0134\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}
    • M_{\mathrm{O_2}}=31{,}9988\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}
    • M_{\mathrm{Ar}}=39{,}948\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}
    • M_{\mathrm{CO_2}}=44{,}01\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}
  • Base numérica prática: vou tomar 1{,}000\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g} de mistura para converter frações em massa em números de mols; depois calculo frações molares e passo para a forma molar das quantidades termodinâmicas.

Passo 2

Converter as frações em massa em massas (base 1000\\ \mathrm{g}):
\begin{aligned} m_{\mathrm{N_2}} &= 0{,}7552\times 1000\\ \mathrm{g}=755{,}2\\ \mathrm{g},\\\ m_{\mathrm{O_2}} &= 0{,}2315\times 1000\\ \mathrm{g}=231{,}5\\ \mathrm{g},\\\ m_{\mathrm{Ar}} &= 0{,}0128\times 1000\\ \mathrm{g}=12{,}8\\ \mathrm{g},\\\ m_{\mathrm{CO_2}} &= 0{,}00046\times 1000\\ \mathrm{g}=0{,}46\\ \mathrm{g}. \end{aligned}

Passo 3

Calcular os mols de cada componente usando n_i=\dfrac{m_i}{M_i}:
\begin{aligned} n_{\mathrm{N_2}} &= \dfrac{755{,}2}{28{,}0134}\\ \mathrm{mol}\approx 26{,}959\\ \mathrm{mol},\\[4pt] n_{\mathrm{O_2}} &= \dfrac{231{,}5}{31{,}9988}\\ \mathrm{mol}\approx 7{,}234\\ \mathrm{mol},\\[4pt] n_{\mathrm{Ar}} &= \dfrac{12{,}8}{39{,}948}\\ \mathrm{mol}\approx 0{,}3204\\ \mathrm{mol},\\[4pt] n_{\mathrm{CO_2}} &= \dfrac{0{,}46}{44{,}01}\\ \mathrm{mol}\approx 0{,}01045\\ \mathrm{mol}. \end{aligned}
Somando:
n_{\text{total}} \approx 26{,}959 + 7{,}234 + 0{,}3204 + 0{,}01045 \approx 34{,}524\\ \mathrm{mol}.]

Passo 4

Calcular as frações molares \;x_i=\dfrac{n_i}{n_{\text{total}}}:
\begin{aligned} x_{\mathrm{N_2}} &\approx \dfrac{26{,}959}{34{,}524}\approx 0{,}7809,\\[4pt] x_{\mathrm{O_2}} &\approx \dfrac{7{,}234}{34{,}524}\approx 0{,}2096,\\[4pt] x_{\mathrm{Ar}} &\approx \dfrac{0{,}3204}{34{,}524}\approx 0{,}00928,\\[4pt] x_{\mathrm{CO_2}} &\approx \dfrac{0{,}01045}{34{,}524}\approx 0{,}000303. \end{aligned}
Verificação rápida: x-s somam aproximadamente 1{,}000 (diferenças por arredondamento).]

Passo 5

Apresentar as fórmulas termodinâmicas para mistura ideal (e explicar intuitivamente):
  • Para gases ideais, a entalpia de mistura é nula porque não há interação energética entre espécies além da energia translacional separada — trocar partículas de recipiente não troca energia interna média. Assim
\Delta H_{\text{mix}}=0.
  • A entropia de mistura (por mol de mistura) para mistura ideal é dada por
\Delta S_{\text{mix}} = -R\sum_i x_i\ln x_i,
onde R é a constante dos gases ( R\approx 8{,}3145\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}), x_i são as frações molares; a interpretação: mistura aumenta a desordem, e a expressão mede o ganho de entropia por dispersão das espécies.
  • A energia livre de Gibbs de mistura, a partir de \Delta G=\Delta H - T\Delta S, com \Delta H_{\text{mix}}=0, fica
\Delta G_{\text{mix}} = -T\,\Delta S_{\text{mix}} = RT\sum_i x_i\ln x_i.
Observação: \sum_i x_i\ln x_i é negativo (pois 0<x_i<1\Rightarrow \ln x_i<0), logo \Delta S_{\text{mix}}>0 e \Delta G_{\text{mix}}<0 — mistura espontânea.

Passo 6

Calcular numericamente \sum_i x_i\ln x_i. Vou mostrar os termos:
\begin{aligned} x_{\mathrm{N_2}}\ln x_{\mathrm{N_2}} &\approx 0{,}7809\times\ln(0{,}7809)\approx -0{,}1933,\\[4pt] x_{\mathrm{O_2}}\ln x_{\mathrm{O_2}} &\approx 0{,}2096\times\ln(0{,}2096)\approx -0{,}3275,\\[4pt] x_{\mathrm{Ar}}\ln x_{\mathrm{Ar}} &\approx 0{,}00928\times\ln(0{,}00928)\approx -0{,}0434,\\[4pt] x_{\mathrm{CO_2}}\ln x_{\mathrm{CO_2}} &\approx 0{,}000303\times\ln(0{,}000303)\approx -0{,}00246. \end{aligned}
Somando:
\sum_i x_i\ln x_i \approx -0{,}5668.]

Passo 7

Calcular \Delta S_{\text{mix}} molar e \Delta G_{\text{mix}} molar usando R e T:
\Delta S_{\text{mix}} = -R\sum_i x_i\ln x_i \approx -8{,}3145\times(-0{,}5668)\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}\approx 4{,}71\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
\Delta G_{\text{mix}} = RT\sum_i x_i\ln x_i \approx 8{,}3145\times 298{,}15\times(-0{,}5668)\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}\approx -1{,}41\times 10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Conveniente expressar \Delta G em \mathrm{kJ\;mol^{-1}}:
\Delta G_{\text{mix}} \approx -1{,}41\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
E, como já dito,
\Delta H_{\text{mix}}=0\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.

Passo 8

Interpretação rápida e dica de prova (estilo amigo que te anima): o resultado diz que misturar os gases ideais é espontâneo ( \Delta G<0) e aumenta a entropia do sistema ( \Delta S>0). O calor envolvido é zero ( \Delta H=0) porque, no modelo de gás ideal, não há trocas de energia entre espécies ao misturar — só aumento da desordem. Se na prova te pedirem o valor por uma massa (ex.: por 1 kg), multiplica-se os valores molares por n_{\text{total}} que eu calculei ( n_{\text{total}}\approx 34{,}524\\ \mathrm{mol}).

Resposta

\Delta G_{\text{mix}} \approx -1{,}41\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}
\Delta S_{\text{mix}} \approx 4{,}71\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}
\Delta H_{\text{mix}} = 0\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}

Exercícios relacionados