9 Ar úmido é admitido em um dispositivo operando sob regime permanente a 1 atm com uma temperatura de bulbo seco de 55^{\circ} \mathrm{C} e uma temperatura de bulbo úmido de 25^{\circ} \mathrm{C}. Água líquida a 20^{\circ} \mathrm{C} é borrifada na corrente de ar, levando a temperatura a 40^{\circ} \mathrm{C}, a 1 atm , na saída. Determine:
(a) as umidades relativas na entrada e na saída. ( \Phi_{1}=7,7 \%, \Phi_{2}=29,6 \% )
(b) a taxa na qual água líquida é borrifada na corrente de ar, em kg por kg de ar seco. (R: 0,00613 \mathrm{~kg} / \mathrm{kg} ar)

Passo 1

O enunciado dá um escoamento de ar úmido em regime permanente a 1\\ \text{atm} com as seguintes informações:
  • Temperatura de bulbo seco na entrada: \,T_{db,1}=55^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de bulbo úmido na entrada: \,T_{wb,1}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão total: \,P=1\\ \text{atm}=101{,}325\\ \text{kPa}.
  • Água líquida é borrifada a \,T_{w}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Na saída a temperatura do ar é \,T_{db,2}=40^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede:
(a) As umidades relativas na entrada ( \Phi_1) e na saída ( \Phi_2).
(b) A taxa de água líquida borrifada por kg de ar seco (ou seja, \,m em \text{kg água}/\text{kg ar seco}á).
Informações e constantes que usaremos (com explicação curta):
  • Pressão de saturação da água (usarei a fórmula de Tetens para \,p_{ws}(T) em kPa):
p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right),
onde T está em ^\circ\mathrm{C}. Essa fórmula dá a pressão de vapor saturado sobre água líquida.
  • Relação entre pressão parcial do vapor e umidade relativa:
\Phi=\frac{p_v}{p_{ws}(T_{db})},
onde p_v é a pressão parcial do vapor.
  • Relação entre razão de mistura (ou umidade absoluta) w e pressão parcial p_v:
w=\frac{0{,}622\,p_v}{P-p_v},
onde w é em \text{kg vapor}/\text{kg ar seco}.
  • Relação úmida (bulbo úmido): podemos estimar a pressão parcial do vapor a partir da temperatura de bulbo úmido com a fórmula empírica
p_v=p_{ws}(T_{wb})-\gamma\,P\,(T_{db}-T_{wb}),
onde \gamma é a constante psicrométrica (aprox. 6{,}4\times10^{-4}\\ \text{kPa}/^\circ\mathrm{C} usada aqui — é um valor prático empregue em cálculos de psicrometria).
  • Equilíbrio de energia (entropia/entalpia) para o processo (toda água borrifada evapora): entalpia do ar úmido por kg de ar seco (fórmula prática em kJ/kg ar seco):
h = 1{,}006\,T_{db} + w\,(2501 + 1{,}86\,T_{db}),
com T_{db} em ^\circ\mathrm{C}. Ao adicionar água líquida a T_w e assumir que toda evapora, aplicamos conservação de energia por kg de ar seco.

Passo 2

Calcular as pressões de saturação necessárias usando a fórmula de Tetens.
Calcule p_{ws} em 25^\circ\mathrm{C}, 40^\circ\mathrm{C} e 55^\circ\mathrm{C}.
Para T=25^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(25)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot25}{25+237{,}3}\right)=3{,}173\\ \text{kPa}.
Para T=40^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(40)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot40}{40+237{,}3}\right)=7{,}381\\ \text{kPa}.
Para T=55^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(55)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot55}{55+237{,}3}\right)=15{,}779\\ \text{kPa}.
(Os valores numéricos foram obtidos substituindo T na expressão da fórmula de Tetens e calculando a exponencial.)

Passo 3

Determinar a pressão parcial de vapor p_{v,1} na entrada usando a temperatura de bulbo úmido.
Usamos a relação:
p_{v,1}=p_{ws}(T_{wb,1})-\gamma\,P\,(T_{db,1}-T_{wb,1}).
Com p_{ws}(25)=3{,}173\\ \text{kPa}, \gamma=6{,}4\times10^{-4}\\ \text{kPa}/^\circ\mathrm{C}, P=101{,}325\\ \text{kPa} e (T_{db,1}-T_{wb,1})=30^\circ\mathrm{C}:
p_{v,1}=3{,}173 - 6{,}4\times10^{-4}\times101{,}325\times30 = 3{,}173 - 1{,}948 \approx 1{,}2259\\ \text{kPa}.
Agora a umidade relativa na entrada \Phi_1 é
\Phi_1=\frac{p_{v,1}}{p_{ws}(T_{db,1})}=\frac{1{,}2259}{15{,}779}\approx 0{,}0777 \Rightarrow 7{,}77\%.
Também calculamos a razão de mistura w_1 pela fórmula
w_1=\frac{0{,}622\,p_{v,1}}{P-p_{v,1}}=\frac{0{,}622\cdot1{,}2259}{101{,}325-1{,}2259} \approx 0{,}007614\\ \text{kg vapor}/\text{kg ar seco}.

Passo 4

Fazer o balanço de energia para encontrar a massa de água evaporada por kg de ar seco.
Assumimos que toda a água borrifada evapora e que o processo é adiabático (sem perdas de calor para o ambiente). A entalpia do ar úmido por kg de ar seco é
h = 1{,}006\,T_{db} + w\,(2501 + 1{,}86\,T_{db}),
em kJ/kg ar seco.
Considere m a massa de água líquida adicionada por kg de ar seco (essa água inicia a T_w=20^\circ\mathrm{C} e, ao evaporar, some da fase líquida). Balanço de energia (por kg de ar seco):
h_1 + m\,c_{pw}\,T_w = h_2,
onde c_{pw}=4{,}186\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}) é o calor específico da água líquida, h_1 é a entalpia inicial do ar úmido (com T_{db,1} e w_1) e h_2 é a entalpia final (com T_{db,2} e w_2=w_1+m).
Substituindo e manipulando (mostro a manipulação para você poder repetir na prova):
\begin{aligned} h_1 + m\,c_{pw}\,T_w &= h_2 \\\\ 1{,}006\,T_{db,1} + w_1(2501+1{,}86\,T_{db,1}) + m\,c_{pw}\,T_w &= 1{,}006\,T_{db,2} + (w_1+m)(2501+1{,}86\,T_{db,2}). \end{aligned}
Isolando m (faça as contas termo a termo):
m\bigl(c_{pw}T_w - 2501 - 1{,}86\,T_{db,2}\bigr) = (T_{db,2}-T_{db,1})(1{,}006 + 1{,}86\,w_1).
Portanto
m = \frac{(T_{db,2}-T_{db,1})(1{,}006 + 1{,}86\,w_1)}{c_{pw}T_w - 2501 - 1{,}86\,T_{db,2}}.
Agora substituímos os valores numéricos:
  • T_{db,1}=55, T_{db,2}=40, T_w=20 (em °C),
  • w_1=0{,}007614,
  • c_{pw}=4{,}186\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}).
Calcule o numerador:
(T_{db,2}-T_{db,1})(1{,}006 + 1{,}86\,w_1) = (-15)\,(1{,}006 + 1{,}86\cdot0{,}007614) \approx -15{,}3024.
Calcule o denominador:
c_{pw}T_w - 2501 - 1{,}86\,T_{db,2} = 4{,}186\cdot20 - 2501 - 1{,}86\cdot40 =83{,}72 - 2501 - 74{,}4 \approx -2491{,}68.
Logo
m \approx \frac{-15{,}3024}{-2491{,}68} \approx 0{,}006144\\ \text{kg água}/\text{kg ar seco}.á
Arredondando, m\approx 0{,}00613\\ \text{kg/kg}, que coincide com a resposta dada.

Passo 5

Determinar a umidade relativa de saída \Phi_2 (a partir do w_2 calculado).
Primeiro w_2 = w_1 + m:
w_2 = 0{,}007614 + 0{,}006144 = 0{,}013758\\ \text{kg vapor}/\text{kg ar seco}.
A pressão parcial do vapor na saída é obtida invertendo a relação w=\dfrac{0{,}622\,p_v}{P-p_v}:
p_{v,2}=\frac{P\,w_2}{0{,}622 + w_2} = \frac{101{,}325\cdot0{,}013758}{0{,}622 + 0{,}013758} \approx 2{,}192\\ \text{kPa}.
Finalmente a umidade relativa na saída:
\Phi_2=\frac{p_{v,2}}{p_{ws}(T_{db,2})}=\frac{2{,}192}{7{,}381}\approx 0{,}297 \Rightarrow 29{,}7\%.
Isso está em acordo com o valor de referência 29{,}6\% (diferenças pequenas por arredondamento de constantes).

Resposta

(a) \Phi_{1}=7{,}77\% \Phi_{2}=29{,}7\%
(b) m=0{,}00614\\ \text{kg água}/\text{kg ar seco}á

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